20.3二次函數(shù)解析式的確定.doc

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1、12999數(shù)學(xué)網(wǎng)www.12999.com20.3二次函數(shù)解析式的確定一．知識(shí)要點(diǎn)1.若已知二次函數(shù)的圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，則用一般式（a≠0）求解析式。2.若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸最值），則應(yīng)用頂點(diǎn)式，其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。3.若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)用交點(diǎn)式，其中為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出函數(shù)關(guān)系式，解決實(shí)際問題。三.教學(xué)建議：求二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x用二次函數(shù)關(guān)系式的形式，選擇恰當(dāng)，解題簡(jiǎn)捷；選擇不當(dāng)，解題繁瑣；解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選用。典型例題例1.

2、已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三點(diǎn)，求其函數(shù)關(guān)系式。分析：設(shè)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，－5），可得，再由另外兩點(diǎn)建立關(guān)于的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可。解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為因?yàn)閳D象過點(diǎn)C（0，－5），∴又因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－6），B（2，3），故可得到：∴所求二次函數(shù)的解析式為說明：當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其關(guān)系式為，然后確定a、b、c的值即得，本題由C（0，－5）可先求出c的值，這樣由另兩個(gè)點(diǎn)列出二元一次方程組，可使解題過程簡(jiǎn)便。例2.已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為（1，），且經(jīng)過點(diǎn)（－2，0），求該二次

3、函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。分析：由已知頂點(diǎn)為（1，），故可設(shè)，再由點(diǎn)（－2，0）確定a的值即可解：，則第-8-頁共8頁12999數(shù)學(xué)網(wǎng)www.12999.com∵圖象過點(diǎn)（－2，0），∴∴即：說明：如果題目已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），一般設(shè)，再根據(jù)其他條件確定a的值。本題雖然已知條件中已設(shè)，但我們可以不用這種形式而另設(shè)這種形式。因?yàn)樵谶@種形式中，我們必須求a、b、c的值，而在這種形式中，在頂點(diǎn)已知的條件下，只需確定一個(gè)字母a的值，顯然這種形式更能使我們快捷地求其函數(shù)關(guān)系式。例3.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是，且函數(shù)有最大值為2，圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（－1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的

4、解析式。分析：依題意，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，2），因此，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為∵圖象經(jīng)過（－1，0），∴∴所求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為即：說明：在題設(shè)的條件中，若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)，或?qū)ΨQ軸，或函數(shù)的最大（最小值），可設(shè)頂點(diǎn)式為解析式。例4.已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示，則這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是__________________。圖1分析：可根據(jù)題中圖中的信息轉(zhuǎn)化為一般式（或頂點(diǎn)式）（或交點(diǎn)式）。第-8-頁共8頁12999數(shù)學(xué)網(wǎng)www.12999.com方法一：由圖象可知：該二次函數(shù)過（0，0），（2，0），（1，－1）三點(diǎn)設(shè)解析式為根據(jù)題意得：∴所求二次函數(shù)的

5、解析式為方法二：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1）設(shè)解析式為∵圖象過（0，0），∴，∴∴所求二次函數(shù)的解析式為即方法三：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（0，0），（2，0）設(shè)解析式為∵圖象過（1，－1）∴，∴∴所求二次函數(shù)解析式為：即：說明：依題意后兩種方法比較簡(jiǎn)便。例5.已知：拋物線在x軸上所截線段為4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式分析：由于拋物線是軸對(duì)稱圖形，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），則有對(duì)稱軸，利用這個(gè)對(duì)稱性很方便地求二次函數(shù)的解析式解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）∴對(duì)稱軸是直線x＝2∵拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間距離為4

6、∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，0）設(shè)所求函數(shù)的解析式為∵圖象過（0，0）點(diǎn)∴，∴∴所求函數(shù)的解析式為例6.已知二次函數(shù)第-8-頁共8頁12999數(shù)學(xué)網(wǎng)www.12999.com的最大值是零，求此函數(shù)的解析式。分析：依題意，此函數(shù)圖象的開口應(yīng)向下，則有，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為零，則有：。以上兩個(gè)條件都應(yīng)滿足，可求m的值。解：依題意：由①得由②得：（舍去）所求函數(shù)式為即：例7.已知某拋物線是由拋物線經(jīng)過平移而得到的，且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，4），求其函數(shù)關(guān)系式。分析：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，則由于它是拋物線經(jīng)過平移而得到的，故a＝2，再由已知條件列出b、c的二元一次

7、方程組可解本題。解：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，則由已知可得a＝2，又它經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，4）故：解得：∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：說明：本題的關(guān)鍵是由所求拋物線與拋物線的平移關(guān)系，得到例8.如圖2，已知點(diǎn)A（－4，0）和點(diǎn)B（6，0），第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)為－2，并且滿足條件第-8-頁共8頁12999數(shù)學(xué)網(wǎng)www.12999.com圖2（1）求證：△PAB是直角三角形。（2）求過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。分析：（1）中須證，由已知條件：，