層次分析法在求解某些優(yōu)化問題中的應(yīng)用

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1、高等數(shù)學(xué)研究Vol.10,No.162STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJan.,20073層次分析法在求解某些優(yōu)化問題中的應(yīng)用李文雅歐宜貴(海南大學(xué)信息學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系?？?70228)摘要通過具體的實例分析,說明層次分析方法在求解某些優(yōu)化問題方面的有效性.關(guān)鍵詞層次分析法;優(yōu)化;應(yīng)用中圖分類號O224[1]對于通常的優(yōu)化問題,目前已有成熟的方法求解.然而,這些優(yōu)化問題一旦具有如下特性之一,如問題中存在一些難于度量的因素;問題的結(jié)構(gòu)在很大程度上依賴決策者的經(jīng)驗;問題的某些變量之間內(nèi)部存在相關(guān)性;需要加入決策者的經(jīng)驗、偏好等因素,那么,若仍然單純

2、依靠構(gòu)造一個優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型來求解往往是行不通的.請看下面的應(yīng)用實例:[2]例假設(shè)某人在制定食譜時有三類食品可供選擇:肉、面包和蔬菜.這三類食品所含營養(yǎng)成分及單價如表1所示.該人體重為5kg,每天對各類營養(yǎng)的最低需求為,維生素A:7500(國際單位IU),維生素B2:1.6338(mg),熱量:8548.5(kJ).考慮應(yīng)如何制定食譜可使在保證養(yǎng)需求的前提下支出最小?表1三類食品所含營養(yǎng)成分及其單價表食品維生素A(IU/g)維生素B2(mg/g)熱量(kj/g)單價(元/g)肉0.35270.002111.930.0275面包00.000611.510.006蔬菜2

3、50.00201.040.007若單純考慮問題的條件,可設(shè)分別選擇肉、面包和蔬菜各x1,x2,x3,容易建立如下線性規(guī)劃模型:minf=0.0275x1+0.006x2+0.007x30.3527x1+25.0x3≥75000.0021x1+0.0006x2+0.002x3≥1.6338s.t.(LP1)11.9300x1+11.5100x2+1.04x3≥8548.5x1,x2,x3≥0[3]3T用Matlab優(yōu)化工具箱求解,得最優(yōu)解x=(0.0000,687.5267,610.6420);最優(yōu)值3f=8.3997.即不吃肉,選面包678.53g、蔬菜610.6

4、4g,每日最低支出為8.40元.顯然,在實際生活當(dāng)中,以上的方案很難被人接受,因為它不能照顧到人們對食物種類的偏好.當(dāng)然,我們可以結(jié)合偏好加入一些約束,如至少安排肉140g(即x1≥140)等.[4]一個較有效的思路是把這個問題用層次分析法來求解.使用層次分析法求解最優(yōu)化問題可以引入包括偏好等這類因素.下面結(jié)合層次分析法來重新求解上例.建立如圖1所示的層次結(jié)構(gòu).根據(jù)偏好建立如下兩兩比較判斷矩陣,WD1D2λmax=2,1D113C·I=0,1C·R=0<0.1,TD21/31主特征向量ω=(0.75,0.25).3收稿日期:2005-03-17;修改稿:2006-

5、01-08.第10卷第1期李文雅,歐宜貴:層次分析法在求解某些優(yōu)化問題中的應(yīng)用631T故第二層元素排序總權(quán)重為w=(0.75,0.25).圖1層次結(jié)構(gòu)圖D1AB2Qλmax=3,11A112C·I1=0;R·I1=0.58,1B2112C·R1=0,TQ1/21/21主特征向量ω=(0.4,0.4,0.2).2T故相對權(quán)重P1=(0.4,0.4,0.2,0).注:第三層的價格D3與第二層的元素D2是一對一的關(guān)系,因此第三層可以看做有四個元素:維生素A、維生素B2、熱量Q及支出D2.容易得到112TC·I2=0;R·I2=0;相對權(quán)重P2=(0,0,0,1).第三層

6、組合一致性檢驗問題:21112111因為C·I=(C·I1C·I2)w=0;R·I=(R·I1R·I2)w=0.435.于是有2122C·R=C·R+C·I/R·I=0<0.1.故第三層所有判斷矩陣通過一致性檢驗,從而得到第三層元素維生素A、維生素B2、熱量Q及支出221221TD3的總權(quán)重為w=Pw=(P1P2)w=(0.3,0.3,0.15,0.25).求第四層元素關(guān)于總目標W的排序權(quán)重向量時,用到第三層與第四層元素的排序關(guān)系矩陣,可以用原始的營養(yǎng)成分及單價的數(shù)據(jù)得到.注意到單價對人們來說希望最小,因此應(yīng)取各單價的倒數(shù),然后歸一化.其他營養(yǎng)成分的數(shù)據(jù)直接進行歸

7、一化計算,得到下表2.表2三類食品相關(guān)數(shù)據(jù)歸一化處理結(jié)果食品維生素A維生素B2熱量Q單價D2肉Me0.01390.44680.48720.1051面包Br0.00000.12770.47020.4819蔬菜Ve0.98610.42550.04260.43103此表的數(shù)據(jù)即為矩陣P,可計算最終的第四層各元素的綜合權(quán)重向量為332Tw=Pw=(0.23760.22930.5331).此結(jié)果表明,按這個人偏好,肉、面包和蔬菜的比例取0.2376∶0.2293∶0.5331較為合適.引入?yún)?shù)變量k,令x1=0.2376k,x2=0.2293k,x3=0.5331k,代入(

8、LP1),