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《3.1共軛空間與共軛算子.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、第三章共軛空間與共軛算子線性賦范空間與它的共軛空間之間的相互依存和相互作用是泛函分析中內(nèi)容豐富的論題.共軛空間不僅僅是由原空間派生出來(lái)的一種新空間，而且提供了認(rèn)識(shí)原空間的新工具.特別是由此派生了強(qiáng)拓?fù)洹⑷跬負(fù)淠酥寥?拓?fù)涞母拍?有界算子與它的共軛算子的關(guān)系也是如此.本章將首先把共軛空間具體化——給出共軛空間的表現(xiàn)，然?后討論由共軛空間引出的序列的弱收斂和弱收斂概念及其性質(zhì)，討論共軛算子和緊算子的性質(zhì)，最后闡述自反空間和一致凸空間的特殊性質(zhì).第15講共軛空間及其表現(xiàn)教學(xué)目的掌握常用空間的共軛空間的具體表現(xiàn)形式及其應(yīng)用。授課要點(diǎn)pq111空間()*,1llp=≤<∞+
2、=,1.pqpq112空間()LLp*,1=≤<∞+,=1.pq3空間Cab[,]*=Vab[,].0?前面已講過(guò)，對(duì)于任一線性賦范空間X，X的共軛空間X是?Banach空間.對(duì)于每個(gè)f∈X，我們有f=supfx(),（1）xxX≤∈1,對(duì)于每個(gè)xX∈，又有1x=supfx().（2）?ff≤∈1,X這些公式反映了線性賦范空間與它的共軛空間之間的對(duì)偶關(guān)系.當(dāng)?????然，作為線性賦范空間，X也存在共軛空間，記為X，稱X為X???的二次共軛空間，類似地還有X等等.在對(duì)共軛空間及其有關(guān)性質(zhì)作進(jìn)一步研究之前，我們需要對(duì)它的抽象形式做一番直觀化的工作.我們記得，在第一章中
3、曾經(jīng)敘述過(guò)兩個(gè)線性賦范空間的等距同構(gòu)概念，等距同構(gòu)的兩個(gè)空間除了符號(hào)不同之外，在結(jié)構(gòu)上無(wú)法區(qū)別.在這種意義上我們也稱兩個(gè)空間相等.在研究抽象空間的時(shí)候，有時(shí)我們不去研究這個(gè)空間本身，而是去研究一個(gè)與之等距同構(gòu)的具體空間，后者稱為前者的表現(xiàn)，同時(shí)也稱具體空間的每個(gè)元素是抽象空間對(duì)應(yīng)元素的表現(xiàn).n例如,在第二章第1講中我們已經(jīng)知道Φ上的線性泛函的一般形式是nf()xa=++11x?annx，?xxx=∈(1,,?n)Φ（3）其中aa,,?是n個(gè)標(biāo)量.不同的f對(duì)應(yīng)有不同的n數(shù)組(aa,,?).1n1n1n2??2nn直接計(jì)算可以求出fa=??∑i.若將Φ上的線性泛函f與
4、Φ??i=1?nn中的點(diǎn)()aa,,?對(duì)應(yīng)起來(lái)，則(Φ)與Φ之間可以建立一一對(duì)應(yīng)，1n?n并且這種對(duì)應(yīng)是到上的等距同構(gòu).這樣一來(lái)，(Φ)中的元素可以通?nn過(guò)一個(gè)n數(shù)組表現(xiàn).換句話說(shuō)，Φ本身就是(Φ)的表現(xiàn).在這種意?nn義下我們說(shuō)()Φ=Φ.現(xiàn)在讓我們看一些進(jìn)一步的例子.2?1∞定理1(ll)=.∞證明1°對(duì)于每個(gè)aaa=∈(),,?l，定義12∞1f()xa=∑nnx，?x=∈(xln).()4n=11f是l上的線性泛函，并且∞∞f()xa≤≤∑nnxaxsupn∑n=supaxn.nn==11n≥1n≥1從而f≤=supaa.n∞n???12°反之，若f∈(
5、)l，取e=??0,??,0,1,0,，n≥1，易知n??%(&('??n1el∈．令afe=()，首先af≤=ef．若令a=(aa,,?)，nnnnn12n∞1()n則al∈并且aa∞=≤supnf.任取x=(xli)∈，設(shè)x=∑xeii，ni=1則∞()nxx?=∑xi→0.()n→∞in=+1由f的連續(xù)性n∞()nf()xf==lim()xlim∑∑xiif()ea=nxn,nn→∞→∞in==111這說(shuō)明式()4是l上線性泛函的一般形式.?1∞a3°令Tl:()→l，Tf=α．由1°，T是到上的線性映射.1與??a112一起說(shuō)明Tf==af，?∈f(l).
6、從而T是一一映射，()l與∞∞3?∞1∞l等距同構(gòu)，即(ll)=.?pq??11類似地可以證明()llppq=(1,＜＜∞+=1)，此外用類似的?1?1方法還可以證明cl=,cl=.0根據(jù)Hahn－Banach定理(見(jiàn)本節(jié)開(kāi)頭提到的式子)，我們有∞pxp=sup∑axnn，?x=∈(xln)（5）a≤1n=1qq這里aal=∈().npq*??11定理2LabLab[,,]=∞[](1＜＜p,1pq+=).q證明1°對(duì)于每個(gè)atLab()∈[,]，定義bpf()xx=∫()()tatdt，?∈atLab()[,].()6apf是Lab[,]上的線性泛函，由Hold
7、er不等式，bf()xx=≤∫a()()tatdtxpqa,故f≤a.qp?2°若?∈fLab[,]，令χ=χ為[at,]的特征函數(shù)，并且記t[]at,f(χt)=gx().對(duì)于[]ab,中的任一組區(qū)間[abii,],aab≤≤＜＜?≤≤abb，11nn?1記ε=?()gb()()gagb()()?ga（當(dāng)gb()?ga()=0時(shí)iiiiiiiε=0），則i4nn∑∑gb()()iiiba?=gaεχ()f()()?fχiiii==11n≤?f∑εχχiba()iii=1p1np??=?fb??∑()iia.??i=1nn所以當(dāng)∑()baii?很小時(shí)，∑gb()(
8、)ii?g
