向量在立體幾何中的應(yīng)用 (畢業(yè)論文)

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1、向量在立體幾何中的應(yīng)用中文摘要立體幾何中的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何。為了把代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何中來(lái)，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化。向量代數(shù)是立體幾何中的應(yīng)用性最好的量，用向量來(lái)證明立體幾何中的點(diǎn)，線，面之間的位置關(guān)系及其解決度量問(wèn)題顯得明快，簡(jiǎn)捷和容易的方法。關(guān)鍵詞：向量；方向向量；法向量；點(diǎn)；直線；平面；平行；垂直；夾角。QuadraticcurvesofthenatureofthemidpointstringAbstractThebasicideaissolidgeometrywithalgebraapproachtostudyingge

2、ometry.Inordertoputthealgebraoperationsguidegeometry,thefundamentalwayofdoingthatistothegeometryofthespacestructureofthesystemofalgebra,quantification.Vectoralgebraisthree-dimensionalgeometryinapplicationofthebestquantity,withvectortoprovethree-dimensionalgeometryinpoints,lines,andrelatio

3、nbetweenthepositionsofsurfaceanditssolvingmeasureproblemislively,simpleandeasymethod.Keywords:vector;Directionvector;Vectormethod;Point;Straightline;Plane;Parallel;Vertical;Angle.目錄1引言-2-2共點(diǎn)線與共線點(diǎn)-2-2.1共點(diǎn)線問(wèn)題-2-2.2共線點(diǎn)問(wèn)題-4-2.3共面問(wèn)題-5-3垂直問(wèn)題-6-3.1線線垂直-6-3.2面面垂直-8-4平行問(wèn)題-9-4.1線線平行-9-4.2線面平行-10-4.

4、3面面平行-11-5度量問(wèn)題-11-5.1線線角的求法-11-5.2線面角的求法-12-5.3面面角的求法-13-參考文獻(xiàn)-15-致謝-16-1引言幾何中的大多數(shù)是用代數(shù)的方法來(lái)研究，為了把代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何中來(lái)，最根本的做法就是設(shè)法把空間幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化。立體幾何的基本思想也是代數(shù)的方法來(lái)研究幾何。向量是立體幾何中應(yīng)用性最活的量。2共點(diǎn)線與共線點(diǎn)證明共點(diǎn)線與共線點(diǎn)問(wèn)題是立體幾何中的較多證明題之一，用向量來(lái)解決共點(diǎn)線與共線點(diǎn)問(wèn)題顯得明快，簡(jiǎn)捷和容易入手。下面我們介紹向量法來(lái)解決共點(diǎn)線與共線點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。2.1共點(diǎn)線問(wèn)題例1平行六面體的四條對(duì)角線及思對(duì)對(duì)棱的

5、中點(diǎn)的連線共八條，試證他們必共點(diǎn)。證明：如圖1，設(shè)平行立面體的一組對(duì)棱的中點(diǎn)分別為且連線的中的為,其它三組連線的中點(diǎn)分別為.再設(shè)，，，則即：同理可得：即這說(shuō)明，四點(diǎn)重合。最后設(shè)的連線的中點(diǎn)分別為.則同理可得即。這說(shuō)明點(diǎn)重合，于是命題得證。從這個(gè)例題可以知道，證明共點(diǎn)線問(wèn)題時(shí)一般采用以下知識(shí)：第一：平行四邊形法則以及該法則的結(jié)論。即：（圖2）設(shè)，則所以第二：平行六面體法則。（圖3），，這是用平行六面體三個(gè)棱上的向量來(lái)表示它的對(duì)角線向量。但要注意，這四個(gè)向量具有同一始點(diǎn)。欲證三直線共點(diǎn)，可用以下方法：在三線上任取三點(diǎn)，去證這三點(diǎn)關(guān)于某定點(diǎn)有相同的定位向量。令其中兩線相交，如交

6、于點(diǎn),去證點(diǎn)與上的任一的相連而得到的向量與直線上某相連共線，或再令交于點(diǎn),去證關(guān)于某定點(diǎn)有相同的定向量。2.2共線點(diǎn)問(wèn)題例2【梅涅勞（Menelaus）定理】設(shè)分別是邊上（或各邊的延長(zhǎng)線上）的三點(diǎn)。（圖4），試證這三點(diǎn)同在一直線上的充要條件是;(本題中的線段均有向線段)。證明設(shè),，則：，令，于是再令,則有三點(diǎn)同一直線上的充要條件是向量和向量共線，也就是存在非零數(shù)，使即：因此有，消去得，但,所以，姑因此;同理可得，又所以，姑所以由即得證畢。用向量法來(lái)解決共線點(diǎn)問(wèn)題時(shí)一般采用如下方法：欲證三點(diǎn)共線，可證其中任意兩點(diǎn)相連得到的兩個(gè)向量共線即可。2.3共面問(wèn)題例3設(shè)和是立方體的兩

7、個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，試證立方體不含和的六條棱的中點(diǎn)在同一個(gè)平面上。證明設(shè)（圖5），，，，是立方體中不含和的六條棱的中點(diǎn)。則，，，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則令的中點(diǎn)為,則這說(shuō)明是線段的中點(diǎn)。同理可證既為線段和的中點(diǎn)。又這說(shuō)明共面，即共面。所以六點(diǎn)共面。上面例題可知，證明若干點(diǎn)共面問(wèn)題時(shí)，只證明這些點(diǎn)所在的直線共線就可以。3垂直問(wèn)題立體幾何中的垂直問(wèn)題指的是線線垂直，線面垂直，面面垂直等問(wèn)題。用向量法解決垂直問(wèn)題在立體幾何中比較常用的方法。3.1線線垂直若兩直線的方向向量分別為，則這兩條直線垂直的充要條件是：例4：在單位正方體中，在一個(gè)面的對(duì)角線