圓確定的條件

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1、確定圓的條件教案（蔡飛）教學(xué)內(nèi)容與過程：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課1、問題：車間工人要將一個破損的圓形文物復(fù)原，你有辦法嗎？2、引入新課：（1）這個問題就是本節(jié)課的學(xué)習(xí)的一個知識點，相信同學(xué)們通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)一定能解決這個問題。（2）出示課題：3.4確定圓的條件二、探索新知類比確定直線的條件我們知道經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線；經(jīng)過兩點只能作一條直線.想一想,經(jīng)過一點可以作幾個圓?經(jīng)過兩點,三點,…,呢？1.作圓,使它過已知點A.你能作出幾個這樣的圓?（提問）2.作圓,使它過已知點A,B.你能作出幾個這樣的圓?（提問）作法：（1）連結(jié)AB，作線段AB的垂直平分

2、線MN；（2）在直線MN上任取一點O，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，即為所求。證明：因為O為圓心，OA為半徑，所以A在圓上。又因為O在線段的AB的垂直平分線上，而垂直平分線上的所有點到線段兩端點的距離相等，故OB＝OA，所以B在圓上。所以，圓O是經(jīng)過兩點A、B的圓。師：現(xiàn)在，請同學(xué)回答以下兩個問題：（1）你是怎樣想到上述作法的？（作圓的問題實質(zhì)上就是圓心和半徑的問題，確定了圓心和半徑，圓就隨之確定。在教學(xué)中，解決過已知點作圓的問題，應(yīng)緊緊抓住對圓心和半徑的探討，已知圓心和半徑就可以作一個圓，這是從圓的定義引出的基本思路，因此作圓的問題就是如何根據(jù)已知條件去

3、找圓心和半徑的問題．由于作圓要經(jīng)過已知點，如果圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此作圓的問題又變成了找圓心的問題，是否可以作圓以及能作多少個圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個數(shù).）（2）經(jīng)過兩個已知點A、B的圓有多少個？其圓心的分布有什么特點?與線段AB有什么關(guān)系？為什么？（在學(xué)生回答后，教師把上述兩個問題的結(jié)果作一個小結(jié)。）師：“經(jīng)過兩已知點A、B的圓心在線段AB的垂直平分線上”（板書）由于經(jīng)過已知點A、B的圓，圓心可以取線段AB的垂直平分線上的任意點，圓心不確定，而半徑也不確定，所以，“經(jīng)過兩個已知點A、B的圓有無窮多個，圓的大小是不確定

4、的”（板書）。這是很重要的結(jié)論，以后經(jīng)常要用到，希望同學(xué)們記下來。發(fā)現(xiàn)新問題：既然經(jīng)過兩已知點A、B的圓是不確定的，那么經(jīng)過幾個點的圓才是確定的呢？我們將“經(jīng)過兩個已知點A、B”換成“經(jīng)過三點A、B、C”，這里新增了第三點C。這三點的位置要進(jìn)行討論．有兩種情況：①在一條直線上三點；②不在一條直線上三點，通過學(xué)生小組的討論認(rèn)為不在同一條直線上三點能確定一個圓．解決新問題怎樣才能做出這個圓呢？下面，我們來研究這個問題。2．請你作圓,使它過已知點A,B,C(A,B,C三點不在同一條直線上).你是如何做的？你能作出幾個這樣的圓？分析：作圓可以先找圓心，前面已學(xué)過，

5、經(jīng)過兩點A、B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上。這垂直平分線如果設(shè)為DE，那么DE上哪一點是既經(jīng)過A、B兩點又經(jīng)過第三點C的圓的圓心呢？同學(xué)們想一下，圓心是否應(yīng)該在線段AC（或BC的垂直平分線上）呢？那么圓心怎樣找呢？生：圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線DE與線段BC的垂直平分線FG的交點上。師：要作經(jīng)過不共線三點A、B、C的圓，找圓心時，把經(jīng)過三點A、B、C分解為先要求經(jīng)過兩點A、B，再要求經(jīng)過兩點A、C，兩次一結(jié)合。問題就得到解決了。這是數(shù)學(xué)上常用的思考方法。對于這個問題小華是這樣做的作法：1.連結(jié)AB，BC。2.分別作線段AB，BC的垂直平分線DE和F

6、G，DE與FG相交于點O。3.以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑作圓。⊙O就是所求作的圓。他作的圓符合要求嗎？與同伴進(jìn)行交流。師：“證明”就是根據(jù)“作法”，從理論上說清所作圓確實經(jīng)過不共線的三點A、B、C。因為O為圓心，OB為半徑，所以B在⊙O上，即⊙O過點B。又因為O在線段AB的垂直平分線上，而線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以O(shè)A＝OB。故A在⊙O上，即⊙O經(jīng)過點A。同理，⊙O經(jīng)過點C。因此，⊙O確實是經(jīng)過不共線三點A、B、C的圓?，F(xiàn)在，請同學(xué)們考慮：經(jīng)過不共線三點A、B、C的圓只有一個。生：經(jīng)過不共線的三點A、B、C的圓只有一個。師：這就得到了定理

7、“過不共線三點決定一個圓”（板書）。這里的“決定”包含兩層意思：一是能夠作出一個圓；二是僅能作出一個圓。怎樣證明這一個結(jié)論？（1）要證明“存在性”，說明能作出一個圓，這包含剛才的“作法”、“證明”兩部分的所有內(nèi)容。（2）要證明“唯一性”，說明僅能作一個圓，這由于AB、AC的垂直平分線DE、FG有唯一的交點O，從而圓心O是唯一的。進(jìn)一步又知OA＝OB＝OC半徑是唯一的，所以，這樣所作的圓是唯一的，“唯一性”得到了證明。師：請同學(xué)們再考慮，如果三點A、B、C是在同一直線上，那么存在不存在經(jīng)過三點A、B、C的圓？考慮一下圓心在哪里？生：若A、B、C三點共線，線段

8、AB、BC、CA的垂直平分線平行而無交點，因而找不到圓心，于是不存