圓確定的條件

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1、確定圓的條件教案（蔡飛）教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課1、問(wèn)題：車(chē)間工人要將一個(gè)破損的圓形文物復(fù)原，你有辦法嗎？2、引入新課：（1）這個(gè)問(wèn)題就是本節(jié)課的學(xué)習(xí)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，相信同學(xué)們通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)一定能解決這個(gè)問(wèn)題。（2）出示課題：3.4確定圓的條件二、探索新知類(lèi)比確定直線的條件我們知道經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線；經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)只能作一條直線.想一想,經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作幾個(gè)圓?經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),三點(diǎn),…,呢？1.作圓,使它過(guò)已知點(diǎn)A.你能作出幾個(gè)這樣的圓?（提問(wèn)）2.作圓,使它過(guò)已知點(diǎn)A,B.你能作出幾個(gè)這樣的圓?（提問(wèn)）作法：（1）連結(jié)AB，作線段AB的垂直平分

2、線MN；（2）在直線MN上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，即為所求。證明：因?yàn)镺為圓心，OA為半徑，所以A在圓上。又因?yàn)镺在線段的AB的垂直平分線上，而垂直平分線上的所有點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，故OB＝OA，所以B在圓上。所以，圓O是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓。師：現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)回答以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）你是怎樣想到上述作法的？（作圓的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是圓心和半徑的問(wèn)題，確定了圓心和半徑，圓就隨之確定。在教學(xué)中，解決過(guò)已知點(diǎn)作圓的問(wèn)題，應(yīng)緊緊抓住對(duì)圓心和半徑的探討，已知圓心和半徑就可以作一個(gè)圓，這是從圓的定義引出的基本思路，因此作圓的問(wèn)題就是如何根據(jù)已知條件去

3、找圓心和半徑的問(wèn)題．由于作圓要經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，如果圓心的位置確定了，圓的半徑也就隨之確定，因此作圓的問(wèn)題又變成了找圓心的問(wèn)題，是否可以作圓以及能作多少個(gè)圓，都取決于能否確定圓心的位置和圓心的個(gè)數(shù).）（2）經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A、B的圓有多少個(gè)？其圓心的分布有什么特點(diǎn)?與線段AB有什么關(guān)系？為什么？（在學(xué)生回答后，教師把上述兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)果作一個(gè)小結(jié)。）師：“經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)A、B的圓心在線段AB的垂直平分線上”（板書(shū)）由于經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B的圓，圓心可以取線段AB的垂直平分線上的任意點(diǎn)，圓心不確定，而半徑也不確定，所以，“經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A、B的圓有無(wú)窮多個(gè)，圓的大小是不確定

4、的”（板書(shū)）。這是很重要的結(jié)論，以后經(jīng)常要用到，希望同學(xué)們記下來(lái)。發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題：既然經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)A、B的圓是不確定的，那么經(jīng)過(guò)幾個(gè)點(diǎn)的圓才是確定的呢？我們將“經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A、B”換成“經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、B、C”，這里新增了第三點(diǎn)C。這三點(diǎn)的位置要進(jìn)行討論．有兩種情況：①在一條直線上三點(diǎn)；②不在一條直線上三點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生小組的討論認(rèn)為不在同一條直線上三點(diǎn)能確定一個(gè)圓．解決新問(wèn)題怎樣才能做出這個(gè)圓呢？下面，我們來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。2．請(qǐng)你作圓,使它過(guò)已知點(diǎn)A,B,C(A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上).你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？分析：作圓可以先找圓心，前面已學(xué)過(guò)，

5、經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上。這垂直平分線如果設(shè)為DE，那么DE上哪一點(diǎn)是既經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)又經(jīng)過(guò)第三點(diǎn)C的圓的圓心呢？同學(xué)們想一下，圓心是否應(yīng)該在線段AC（或BC的垂直平分線上）呢？那么圓心怎樣找呢？生：圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線DE與線段BC的垂直平分線FG的交點(diǎn)上。師：要作經(jīng)過(guò)不共線三點(diǎn)A、B、C的圓，找圓心時(shí)，把經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、B、C分解為先要求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B，再要求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、C，兩次一結(jié)合。問(wèn)題就得到解決了。這是數(shù)學(xué)上常用的思考方法。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題小華是這樣做的作法：1.連結(jié)AB，BC。2.分別作線段AB，BC的垂直平分線DE和F

6、G，DE與FG相交于點(diǎn)O。3.以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑作圓。⊙O就是所求作的圓。他作的圓符合要求嗎？與同伴進(jìn)行交流。師：“證明”就是根據(jù)“作法”，從理論上說(shuō)清所作圓確實(shí)經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C。因?yàn)镺為圓心，OB為半徑，所以B在⊙O上，即⊙O過(guò)點(diǎn)B。又因?yàn)镺在線段AB的垂直平分線上，而線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，所以O(shè)A＝OB。故A在⊙O上，即⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A。同理，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。因此，⊙O確實(shí)是經(jīng)過(guò)不共線三點(diǎn)A、B、C的圓?，F(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們考慮：經(jīng)過(guò)不共線三點(diǎn)A、B、C的圓只有一個(gè)。生：經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C的圓只有一個(gè)。師：這就得到了定理

7、“過(guò)不共線三點(diǎn)決定一個(gè)圓”（板書(shū)）。這里的“決定”包含兩層意思：一是能夠作出一個(gè)圓；二是僅能作出一個(gè)圓。怎樣證明這一個(gè)結(jié)論？（1）要證明“存在性”，說(shuō)明能作出一個(gè)圓，這包含剛才的“作法”、“證明”兩部分的所有內(nèi)容。（2）要證明“唯一性”，說(shuō)明僅能作一個(gè)圓，這由于AB、AC的垂直平分線DE、FG有唯一的交點(diǎn)O，從而圓心O是唯一的。進(jìn)一步又知OA＝OB＝OC半徑是唯一的，所以，這樣所作的圓是唯一的，“唯一性”得到了證明。師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏紤]，如果三點(diǎn)A、B、C是在同一直線上，那么存在不存在經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓？考慮一下圓心在哪里？生：若A、B、C三點(diǎn)共線，線段

8、AB、BC、CA的垂直平分線平行而無(wú)交點(diǎn)，因而找不到圓心，于是不存