空間直角坐標(biāo)系與向量

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1、3.1空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系二、向量的概念三、向量的線性運(yùn)算四、向量在軸上的投影五、線性運(yùn)算的幾何意義六、向量的模與方向余弦ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ做三條互相垂直的數(shù)軸,組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)o坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,坐標(biāo)面卦限(八個(gè))zox面Ⅰ一空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸符合右手規(guī)則空間的點(diǎn)M有序數(shù)組(x,y,z)特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R,坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C,.卦限坐標(biāo)IⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx＋－－＋＋－－＋y＋＋－－＋＋－－z＋＋＋＋－－－－點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特點(diǎn)例在O-xyz坐標(biāo)系中表示以下三個(gè)

2、點(diǎn)：M1(1,2,3),M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).M1xyzO123.xyzO2-1M2xyzO12-3M33..M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).二、向量的概念向量：既有大小又有方向的量.以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段.向量的模：向量的大小.單位向量：模為1的向量.零向量：模為0的向量.（模又稱為長(zhǎng)度或范數(shù)）.AB向量的表示：AB

3、

4、AB

5、

6、a自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量三、向量的線性運(yùn)算1.向量的分量

7、：把向量作平行移動(dòng)，使其起點(diǎn)與原點(diǎn)重合。設(shè)其終點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a1,a2,a3),則稱a1,a2,a3為向量的分量或坐標(biāo)，記為=(a1,a2,a3).OAa1a2a3零向量2.向量的線性運(yùn)算定義設(shè)?=(a1,a2,a3),?=(b1,b2,b3),?+?稱為加法，k??稱為數(shù)乘.加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為線性運(yùn)算.?-?=?+（-?）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).?+?=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k??=(ka1,ka2,ka3).?=?a1=b1,a2=b2,a3=b3.3.線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律(1)?+?=?+?;(2)(?+?

8、)+?=?+(?+?);(3)?+0=?;(4)?+(-?)=0;(5)1?=?;(6)k(l?)=(kl)?;(7)k(?+?)=k?+k?;(8)(k+l)?=k?+l?.例化簡(jiǎn)解4.基向量與線性表出單位向量稱為基向量.=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)稱可由線性表出。分向量。xyzO四、向量在軸上的投影1.空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.2.空間一點(diǎn)在軸上的投影3.向量在軸上的投影過(guò)空間點(diǎn)A,B作平面與軸u

9、垂直，與軸u相交于A’,B’,向量AB在軸u上的投影定義為AB

10、

11、A’B’

12、

13、,A’B’與u同向-

14、

15、A’B’

16、

17、,A’B’與u反向向量在軸上的投影有以下兩個(gè)性質(zhì)：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在軸軸與向量的夾角的余弦：證由性質(zhì)1容易看出：投影為負(fù)；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；投影為正；（可推廣到有限多個(gè)）利用勾股定理從圖中可得在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影.向量OA的坐標(biāo)a1,a2,a3分別是OA

18、

19、OA

20、

21、

22、

23、kOA

24、

25、

26、

27、OA

28、

29、解例五、線性運(yùn)算的幾何意義所以，OAPB是平行四邊形.則故經(jīng)平行移動(dòng)后可與重合.故//同理：xyO

30、PABb2b1a2a1a2+b2a1+b1設(shè)1.平行四邊形法則是以為邊的平行四邊形的對(duì)角線.平行四邊形法則也可表示為三角形法則:2.伸縮變換(1)?>0,與同向；(2)?=0,(3)?<0,與反向.對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例例如，即，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)是成比例的注意：再如，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)是成比例的例非零向量單位化.設(shè)向量則例證明：三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半.證設(shè)DE是中位線，DE=DA+AE=BC.=BA+AC=(BA+AC)ABCED例試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.注由勾股定理得六.向量的模與方向余弦1.向量

31、的?？臻g兩點(diǎn)間距離公式平面兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式中點(diǎn)的坐標(biāo)：中點(diǎn)的坐標(biāo)：圓的方程：球面的方程：解原結(jié)論成立.解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為2、向量的方向余弦非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.稱為向量的方向余弦.由圖示可知a1方向余弦的性質(zhì)特殊地：解解例小結(jié)一、向量的線性運(yùn)算作業(yè)：P101:4,6,8,11二、向量的模和方向余弦三、向量在軸上的投影需要記住的結(jié)論對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例平行四邊形法則三角形法則中點(diǎn)的坐標(biāo)：解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或