經(jīng)典功率譜估計(jì)1

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1、數(shù)字信號(hào)處理電氣信息工程學(xué)院蔡超峰引言對(duì)各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)X(n)，自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度均可用時(shí)間平均來定義：維納-辛欽定理：第十三章經(jīng)典功率譜估計(jì)周期圖法（直接法）間接法直接法和間接法的關(guān)系直接法和間接法估計(jì)的質(zhì)量、直接法的改進(jìn)經(jīng)典功率譜估計(jì)總結(jié)短時(shí)傅里葉變換1.周期圖法（直接法）周期圖法是把隨機(jī)信號(hào)X(n)的N點(diǎn)觀察數(shù)據(jù)xN(n)視為一能量有限信號(hào)，直接取xN(n)的DTFT得到XN(ejω)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為對(duì)真實(shí)功率譜P(ejω)的估計(jì)：表示用周期圖法估計(jì)出的功率譜。因?yàn)楣β首V密度直接由傅里葉變

2、換得到，所以周期圖法又稱直接法。自從1965年FFT出現(xiàn)后，該方法就成了譜估計(jì)中的一個(gè)常用方法。將ω在單位圓上等間隔取值，得由于XN(k)可以用FFT快速計(jì)算，所以可以方便地求出。1.周期圖法（直接法）比較以下兩種計(jì)算方法：易知，直接法包含了下述假設(shè)及步驟：①把平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)視為各態(tài)遍歷的，用其一個(gè)樣本x(n)來代替X(n)，并且僅利用x(n)的N個(gè)觀察值xN(n)來估計(jì)功率譜P(ejω)。②從記錄到一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)到估計(jì)出，還包括了對(duì)x(t)的離散化、必要的預(yù)處理（如除去均值和趨勢項(xiàng)、濾波等）。1.周期圖法（直

3、接法）一個(gè)實(shí)際的例子（fs=250Hz）：2.間接法間接法的理論基礎(chǔ)是維納-辛欽定理。1958年Blackman和Tukey給出了這一方法的具體實(shí)現(xiàn)，即先由xN(n)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后求自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換得到的功率譜，記之為，并以此作為對(duì)P(ejω)的估計(jì)，即因?yàn)檫@種方法求出的功率譜是通過自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法，又稱自相關(guān)法或BT法。當(dāng)M較小時(shí)，上式計(jì)算量不是很大，因此該方法是FFT問世之前常用的譜估計(jì)方法。與維納-辛欽定理相比較：2.間接法如果X(n)是各態(tài)遍歷隨機(jī)信號(hào)，x(n)是其一個(gè)樣本函數(shù)，則

4、自相關(guān)函數(shù)可定義如下：實(shí)際中的信號(hào)大多是因果信號(hào)，所以上式可以表示為：本章所涉及的都是自相關(guān)函數(shù)，因此將rx(m)簡寫為r(m)。如果觀察值的個(gè)數(shù)為有限值，則求r(m)的一種方法為：由于x(n)只有N個(gè)觀察值，因此對(duì)于每一個(gè)固定的延遲m，可以2.間接法利用的數(shù)據(jù)只有N-1-

5、m

6、個(gè)，且在0~N-1的范圍內(nèi)，xN(n)=x(n)，所以實(shí)際計(jì)算時(shí)，上式變?yōu)椋旱拈L度為2N-1，它是以m=0為偶對(duì)稱的。由偏差的定義可知：2.間接法可以看出：①對(duì)于一個(gè)固定的延遲

7、m

8、，當(dāng)N→∞時(shí)，，因此是對(duì)r(m)的漸進(jìn)無偏估計(jì)；②對(duì)于一個(gè)固定的N

9、，只有當(dāng)

10、m

11、<

12、m

13、越接近于N時(shí)，估計(jì)的偏差越大；③的均值是真值r(m)和一三角窗函數(shù)的乘積，w(m)的長度是2N-1。該窗函數(shù)對(duì)r(m)加權(quán)，致使產(chǎn)生了偏差。2.間接法三角窗w(m)：當(dāng)我們對(duì)一個(gè)信號(hào)做自然截短時(shí)，就不可避免地對(duì)該數(shù)據(jù)施加了一個(gè)矩形窗，由此矩形窗就產(chǎn)生了加在自相關(guān)函數(shù)上的三角窗，該三角窗影響自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)質(zhì)量。2.間接法由方差的定義可知：當(dāng)N→∞時(shí)，，又因?yàn)椋?，?duì)固定的延遲

14、m

15、，是r(m)的漸進(jìn)一致估計(jì)。2.間接法計(jì)算時(shí)，如果N和m都比較大，則需要的乘法次

16、數(shù)很多?？梢岳肍FT實(shí)現(xiàn)對(duì)的快速計(jì)算。上式也可以寫為：求的離散時(shí)間傅里葉變換，得：2.間接法把xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，得x2N(n)，即：記x2N(n)的傅里葉變換為X2N(ejω)，則有其中X2N(ejω)為有限長信號(hào)x2N(n)的能量譜，除以N以后即為功率譜。這說明自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值和x2N(n)的功率譜是一對(duì)傅里葉變換。2.間接法利用FFT計(jì)算自相關(guān)函數(shù)的步驟：①對(duì)xN(n)補(bǔ)N個(gè)零，得x2N(n)，對(duì)x2N(n)做DFT得X2N(k)，k=0,1,…,2N-1；②求X2N(k)的幅平方，然后除以N，得；③對(duì)做逆變換，

17、得。將中的部分向右平移2N點(diǎn)后形成的序列即為。3.直接法和間接法的關(guān)系直接法：間接法：其中自相關(guān)函數(shù)與x2N(n)的功率譜是一對(duì)傅里葉變換：因此有令M=N-13.直接法和間接法的關(guān)系由此可知，直接法可以看作是間接法的一個(gè)特例，即當(dāng)間接法中使用的自相關(guān)函數(shù)的最大延遲M=N-1時(shí)，二者是相等的。前面已經(jīng)指出：這就意味著，當(dāng)M較大，特別是接近于N-1時(shí)，對(duì)r(m)的估計(jì)偏差變大，此時(shí)估計(jì)出的功率譜的質(zhì)量也必然下降。因此，在使用間接法時(shí)，都是取M<

18、亦即施加了一個(gè)窗函數(shù)，記之為v(m)，得：3.直接法和間接法的關(guān)系的均值等于真實(shí)的自相關(guān)函數(shù)r(m)乘以三角窗w(m)，這是第一次加窗。該三角窗是由數(shù)據(jù)截短而產(chǎn)生的，其寬度為2N-1。v(m)是對(duì)自相關(guān)函數(shù)r(m)的第二次加窗，寬度為2M-1，M<