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1、3.1空間直角坐標系與向量3.1.1.空間直角坐標系3.1.2.向量的概念3.1.3.向量的線性運算3.1.4.向量在軸上的投影3.1.5.方向余弦3.1.1空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符合右手系.zyxox軸:橫軸；y軸：縱軸；z軸：豎軸oxyz符合右手系.oxyzoxyz不符合右手系.Ⅶ空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧyoz面zox面xoy面空間的點M有序數組(x,y,z)特殊點的表示:坐標軸上的點P,Q,R,坐標面上的點A,B,C,.向量：既有大小又有方向的量.以A為起點，B為終點的有向線段.向量的模：向量的
2、大小.單位向量：模為1的向量.零向量：模為0的向量.(模又稱為長度或范數)AB向量的表示：AB
3、
4、AB
5、
6、a3.1.2向量的概念零向量沒有確定的方向.自由向量：不考慮起點位置的向量.向量的坐標表示：把向量作平行移動，使其起點與原點重合。設其終點A的坐標為(a1,a2,a3),則稱a1,a2,a3為向量的分量或坐標，記為=(a1,a2,a3).OA?=?a1=b1,a2=b2,a3=b3.設?=(a1,a2,a3),?=(b1,b2,b3),相等向量：大小相等且方向相同的向量.向量的模：設A=(a1,a2,a3)利用勾股定理從圖
7、中可得
8、
9、OA
10、
11、定義設?=(a1,a2,a3),?=(b1,b2,b3),?+?稱為加法，k??稱為數乘.加法與數乘統(tǒng)稱為線性運算.?+?=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k??=(ka1,ka2,ka3).3.1.3向量的線性運算減法：?-?=?+（-?）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).負向量：大小相等但方向相反的向量.向量線性運算滿足的運算規(guī)律(1)?+?=?+?;(2)(?+?)+?=?+(?+?);(3)?+0=?;(4)?+(-?)=0;(5)1?=?;(6)K(l?)=(kl)?;(7)k(?+
12、?)=k?+k?;(8)(k+l)?=k?+l?.例化簡解1.向量加法運算的幾何意義——平行四邊形法則是以為邊的平行四邊形的對角線.2.向量減法運算的幾何意義3.向量數乘運算的幾何意義——伸縮變換
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14、kOA
15、
16、
17、
18、OA
19、
20、3.向量數乘運算的幾何意義——伸縮變換
21、
22、kOA
23、
24、
25、
26、OA
27、
28、(2)k=0,(3)k<0,與反向.(1)k>0,與同向；例證明：三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半.證設DE是中位線，DE=DA+AE=BC.=BA+AC=(BA+AC)ABCED例用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證
29、與平行且相等,結論得證.例非零向量單位化設向量則4.基向量與線性表出單位向量稱為基向量.=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)稱可由線性表出。xyzO5.向量平行(向量共線)解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向.或3.1.4向量在軸上的投影1.空間一點在軸上的投影2.向量在軸上的投影過空間點A,B作垂直于軸u的平面，與軸u交于’,B’點，于是向量AB在軸u上的投影定義為AB
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31、A’B’
32、
33、,A’B’與u同向-
34、
35、A’B’
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37、,A’B’與u反向向量OA的坐標a1,a2,a3分別是在三個坐標
38、軸上的投影.OA解例3.空間兩向量夾角的概念：特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.4.向量在軸上的投影有以下兩個性質：u上的投影等于向量的模乘以(1)向量AB在軸向量與軸的夾角的余弦：證投影為負；投影為零；投影為正；(2）5.空間上兩點間距離公式特別，若兩點分別為解：原結論成立.解設P點坐標為所求點為非零向量與三條坐標軸正向的夾角稱為方向角.3.1.5方向余弦稱為向量的方向余弦.由圖示可知a1方向余弦的特征特別，單位向量的方向余弦為解解例
