彈塑性力學(xué)-02

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1、1第二章應(yīng)力應(yīng)用彈塑性力學(xué)2第二章應(yīng)力力和應(yīng)力的概念二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的描述邊界條件主應(yīng)力與主方向球張量與應(yīng)力偏量第2章應(yīng)力3第二章應(yīng)力作用在物體上的外力可分為表面力和體積力，簡(jiǎn)稱面力和體力。力和應(yīng)力的概念所謂面力指的是作用在物體表面上的力，如風(fēng)力、液體壓力、兩固體間的接觸力等。物體上個(gè)點(diǎn)所受的面力一般是不同的。為了表明物體表面上的一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，我們?cè)赑點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)在內(nèi)的微小面積元素△S4第二章應(yīng)力△S是標(biāo)量，故矢量的方向與△p的極限方向相同在坐標(biāo)軸x,y,z方向的投影稱為P點(diǎn)面力的分量，并規(guī)定指向坐標(biāo)軸正方向的分量為正

2、，反之為負(fù)。作用在物體表面上的力都占有一定的面積，但對(duì)于作用面很小的面力通常理想化為作用在一點(diǎn)的集中力。5第二章應(yīng)力體力：則是滿布在物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)上的力，如重力、慣性力。電磁力等。物體內(nèi)各點(diǎn)所受的體力一般也是不同的。我們可以仿照對(duì)面力的討論，得出物體內(nèi)一點(diǎn)C所受的體力為按體積計(jì)算的平均集度/△V，在微小體積元素△V無限縮小而趨于C點(diǎn)時(shí)的極限矢量，即顯然，體力矢量的方向就是△V內(nèi)的體力△F的極限方向。面力分量的量綱：6第二章應(yīng)力體力分量的量綱：固體材料受外力作用后就要產(chǎn)生內(nèi)力和變形。用以描述物體中任何部位的內(nèi)力和變形特征的力學(xué)量度是應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)力的概念，在材料力學(xué)課程中雖

3、已討論并應(yīng)用過，但由于這一概念的重要性，我們?cè)谶@里除了強(qiáng)調(diào)應(yīng)力的確切含義之外，還要進(jìn)一步給出在受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的描述方法。柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）首先提出了應(yīng)力和應(yīng)變的理論。為了說明應(yīng)力的概念7第二章應(yīng)力這個(gè)極限矢量就是物體在過C面上P點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)力可分解為其所在平面的外法線方向和切線方向這樣兩個(gè)分量。沿應(yīng)力所在平面的外法線方向（n）的應(yīng)力分量叫做正應(yīng)力，記做。沿切線方向的應(yīng)力分量叫做剪應(yīng)力，記做。8第二章應(yīng)力如果中的n方向與y坐標(biāo)軸的方向一致，則此時(shí)有其中是作用在C截面內(nèi)的剪應(yīng)力，如將分解為沿x軸和z軸的兩個(gè)分量，并記作和，則過C面上

4、P點(diǎn)的應(yīng)力分量為第一個(gè)字母表示應(yīng)力所在面的外法線方向；第二個(gè)字母表示應(yīng)力分量的指向。應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。9第二章應(yīng)力剪應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定分為兩種情況：當(dāng)其所在面的外法線與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)，則以沿坐標(biāo)軸正方向的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)；當(dāng)其所在面的外法線與坐標(biāo)軸的負(fù)方向一致時(shí),則以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的剪應(yīng)力為正，反之為負(fù)。圖中的各應(yīng)力分量均為正應(yīng)力及其分量的量綱為[力][長(zhǎng)度]-2單位為帕（Pa）=N/m210第二章應(yīng)力在以上的討論中，過P點(diǎn)的C平面是任選的。顯然，過P點(diǎn)可以做無窮多個(gè)這樣的平面C?；蛘哒f，過P點(diǎn)有無窮多個(gè)連續(xù)變化的n方向。不同面上

5、的應(yīng)力是不同的。這樣，就產(chǎn)生了一個(gè)到底如何描繪一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的問題。為了研究P點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，我們?cè)赑點(diǎn)處沿坐標(biāo)方向取一個(gè)微小的平行六面體，其六個(gè)面的外法線方向分別與三個(gè)坐標(biāo)軸的正、負(fù)方向重合，各邊長(zhǎng)分別為△x，△y，△z.。假定應(yīng)力在各個(gè)面上均勻分布，于是各面上的應(yīng)力矢量便可用作用在各面中心點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力矢量來表示。每個(gè)面上的應(yīng)力又可以分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力分量。按前面約定的表示法，圖中給出的各應(yīng)力分量均為正方向。11第二章應(yīng)力當(dāng)微小的平行六面體趨于無窮小時(shí)，六面體上的應(yīng)力就代表P點(diǎn)處的應(yīng)力。因此，P點(diǎn)處應(yīng)力分量共有九個(gè)，其中有三個(gè)正應(yīng)力分量、六個(gè)剪應(yīng)力分量（以后將

6、證明剪力互等定理，從而實(shí)際上獨(dú)立的剪應(yīng)力分量只有三個(gè)）。我們把這9個(gè)應(yīng)力按一定規(guī)則排列，令其中每一行為過P點(diǎn)的一個(gè)面上的三個(gè)應(yīng)力分量12第二章應(yīng)力9個(gè)應(yīng)力分量定義一個(gè)新的量∑，它描繪了一種物理現(xiàn)象，即P點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)?！剖菍?duì)坐標(biāo)系Oxyz而言的，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，它們按一定的變換式變換成另一坐標(biāo)系Ox'y'z'中的九個(gè)量這9個(gè)量描繪同一點(diǎn)P的同一物理現(xiàn)象，所以它們的定義仍為∑。數(shù)學(xué)上，在坐標(biāo)變換時(shí)，服從一定的坐標(biāo)變換式的九個(gè)數(shù)所定義的量叫做二階張量。根據(jù)這一定義，∑是一個(gè)二階張量，并稱為應(yīng)力張量。以后將證明，應(yīng)力張量為一對(duì)稱的二階張量。各應(yīng)力分量即為應(yīng)力張量的元素。13第二

7、章應(yīng)力應(yīng)力張量通常表示為其中i，j=x，y，z，當(dāng)i，j任取x，y，z時(shí)，便得到相應(yīng)的分量應(yīng)力張量與3×3階的矩陣寫法相同。如令i代表行，j代表列，行列數(shù)1，2，3，對(duì)應(yīng)于x，y，z。例如第二行第三列的元素為，及應(yīng)力分量為，余類推。應(yīng)當(dāng)指出，物體內(nèi)個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一般來說是不同的，即非均勻分布的。亦即，各點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)為坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)。所以，應(yīng)力張量與給定點(diǎn)的空間位置有關(guān)，談到應(yīng)力張量總是針對(duì)物體中的某一確定點(diǎn)而言的。以后我們將看到，應(yīng)力張量完全確定了一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。14第二章應(yīng)力二維應(yīng)力狀態(tài)與平面問題的平衡方程上一節(jié)