彈塑性力學(xué)試題

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1、考試科目：彈塑性力學(xué)試題班號研班姓名成績一、概念題（1）最小勢能原理等價于彈性力學(xué)平衡微分方程和靜力邊界條件，用最小勢能原理求解彈性力學(xué)近似解時，僅要求位移函數(shù)滿足已知位移邊界條件。（2）最小余能原理等價于應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件，用最小余能原理求解彈性力學(xué)近似解時，所設(shè)的應(yīng)力分量應(yīng)預(yù)先滿足平衡微分方程和靜力邊界條件。（3）彈性力學(xué)問題有位移法和應(yīng)力法兩種基本解法，前者以位移為基本未知量，后者以應(yīng)力為基本未知量。二、已知軸對稱的平面應(yīng)變問題，應(yīng)力和位移分量的一般解為：abp利用上述解答求厚壁圓筒外面套以絕對剛性的外管，厚壁圓筒承受內(nèi)壓p作用，試求該問題的應(yīng)力和位移分量的解。解：邊界條件為：時

2、：；。時：；。將上述邊界條件代入公式得：解上述方程組得：則該問題的應(yīng)力和位移分量的解分別為：POyx三、已知彈性半平面的o點受集中力時，在直角坐標(biāo)下半平面體內(nèi)的應(yīng)力分量為：利用上述解答求在彈性半平面上作用著n個集中力構(gòu)成的力系，這些力到所設(shè)原點的距離分別為,試求應(yīng)力的一般表達式。P1OyxP2PiPny1y2yiyna解：由題設(shè)條件知，第個力在點（x，y）處產(chǎn)生的應(yīng)力將為：故由疊加原理，n個集中力構(gòu)成的力系在點（x，y）處產(chǎn)生的應(yīng)力為：四、一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，彈簧系數(shù)為,承受分布荷載作用。試用最小勢能原理導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。解

3、：第一步：全梁總應(yīng)變能為：外力做功為：總勢能為：第二步：由最小勢能原理可知：等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。（*）其中將其代入（*）式并整理可得：由于當(dāng)時，，；所以平衡微分方程為：（≤≤）靜力邊界條件為：五、已知空間球?qū)ΨQ問題的一般解為：abqaqb其中是坐標(biāo)變量，是徑向位移，分別是徑向與切向應(yīng)力。首先求出空心球受均勻內(nèi)外壓時的解答，然后在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時的解答。解：（1）相應(yīng)空心球受均勻內(nèi)外壓時的邊界條件為：：：將上述邊界條件代入得：可解得：故空心球受均勻內(nèi)外壓時的解為：（2）當(dāng)無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時，即在上式中令、、，

4、則可得：六、已知推導(dǎo)以位移分量表示的平衡微分方程。解：由得將上述兩式代入，得到代入得而，故平衡方程可寫成由因為；所以以位移分量表示的平衡微分方程的最終形式為：。七、證明彈性力學(xué)功的互等定理（用張量標(biāo)記）。證明：（1）先證可能功原理考慮同一物體的兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)與物體所受的實際荷載和邊界約束沒有必然的聯(lián)系。第一狀態(tài)全用力學(xué)量（、、）來描述，它在域內(nèi)滿足平衡方程并在全部邊界條件上滿足力的邊界條件：第二狀態(tài)全用幾何量（）來描述。它在域內(nèi)滿足幾何方程且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊界處的值。從而利用力的邊界條件和高斯積分定理，可得利用平衡方程，式（*）右端第一項可化為第二項利用張量的對稱性

5、和幾何方程可改寫成即式（*）成為式（**）即為可能功原理。（2）考慮同一物體的兩種不同真實狀態(tài)，設(shè)第一狀態(tài)的體力和面力為和，相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)為；第二狀態(tài)則為、和。由于都是真實狀態(tài)，所以兩個狀態(tài)都同時是靜力可能狀態(tài)和變形可能狀態(tài)，且都滿足廣義虎克定律根據(jù)可能功原理（令s=1、k=2）有對于線彈性體，有彈性張量的對稱性得即積分后（a）（b）兩式的右端相等，相應(yīng)地左端也應(yīng)相等，故得到八、證明受均勻內(nèi)壓的厚壁球殼，當(dāng)處于塑性狀態(tài)時，用Mises屈服條件或Tresca屈服條件計算將得到相同的結(jié)果。證明：1、厚壁球殼的彈性應(yīng)力分布（采用球坐標(biāo)系）平衡方程：幾何方程：，物理方程：，特征方程為：解得：引入

6、邊界條件：，可得：最大周向拉應(yīng)力為：2、塑性分析Mises屈服準(zhǔn)則：Tresca屈服準(zhǔn)則：在球坐標(biāo)下，球?qū)ΨQ厚壁球殼內(nèi)部無剪應(yīng)力，故、、即為三個主應(yīng)力，有對稱性可知=，代入兩屈服準(zhǔn)則便可得到相同的形式：，故原結(jié)論得證。