數(shù)學(xué)建模與力學(xué)的結(jié)合

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1、數(shù)學(xué)建模小論文題目:數(shù)學(xué)建模與力學(xué)的結(jié)合院系：理學(xué)院專業(yè)班級(jí)：工程力學(xué)10-01學(xué)號(hào)：2010303688學(xué)生姓名：劉永春任課教師：李強(qiáng)2012年10月25日6數(shù)學(xué)建模與力學(xué)的結(jié)合摘要：數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象，也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對(duì)某種商品所取的價(jià)值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測(cè)，試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模力學(xué)

2、模型受力引言：近半個(gè)多世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用不僅在機(jī)械工程、建筑工程、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等新的領(lǐng)域滲透，所謂數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。數(shù)學(xué)建模解決飛機(jī)受力在現(xiàn)實(shí)生活中，我們接觸了許多機(jī)械。這些機(jī)械結(jié)構(gòu)都復(fù)雜多樣，要很好的控制這些機(jī)械的運(yùn)動(dòng)就需要我們了解這些機(jī)械的工作原理和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這就需要我們將力學(xué)和數(shù)學(xué)建模很好的結(jié)合起來分析機(jī)械整體和各個(gè)部分。在飛機(jī)的設(shè)計(jì)工作中，也廣泛的應(yīng)用了數(shù)學(xué)模型。建造一架飛機(jī)，首先就要

3、建立一個(gè)大致的飛機(jī)模型。根據(jù)其載重量和最大牽引力，確定其飛機(jī)各個(gè)部分所受的力量，然后通過材料中的應(yīng)力校核原理，確定各部位所要用的材料和材料的規(guī)格。要想計(jì)算出飛機(jī)各部分所受的力量，就要先將飛機(jī)簡(jiǎn)化成為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后分析飛機(jī)各個(gè)部位所受力的情況。當(dāng)飛機(jī)作穩(wěn)定航行時(shí)，所有作用在它上面的力必須相互平衡。下面利用數(shù)學(xué)建模與力學(xué)的結(jié)合解決一道飛機(jī)飛行時(shí)的受力問題，如假設(shè)飛機(jī)的自身的重力為30kN，螺旋槳的牽引力4kN。飛機(jī)重心的作用線與飛機(jī)機(jī)翼升力的作用線相距為2m，飛機(jī)機(jī)翼與飛機(jī)牽引力的作用線相距為1m，飛機(jī)所受阻力的作用線與飛機(jī)機(jī)翼相距0.5m，飛機(jī)的重

4、心的作用線與飛機(jī)尾部升力相距為50m，要求飛機(jī)阻力，機(jī)翼升力和尾部的升力?？蓪w機(jī)模型簡(jiǎn)化成下面的模型。如圖3-3所示6同理在飛機(jī)機(jī)翼上安裝1臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，要求機(jī)翼處于平衡狀態(tài)時(shí)，機(jī)翼根部固定端O的受力。先用理論里學(xué)知識(shí)分析其作用在機(jī)翼OA上的氣動(dòng)力的分布情況和所受的其他力量，然后根據(jù)受力分布將該問題的模型簡(jiǎn)化。如下圖，可根據(jù)下圖來機(jī)翼根部固定端O的受力。6數(shù)學(xué)模型求解磨削表面殘余應(yīng)力磨削時(shí)，由于磨粒切刃具有大的負(fù)前角，變形區(qū)的塑性變形非常嚴(yán)重，在磨粒刃尖前方區(qū)域?qū)⑿纬蓮?fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。在磨粒切刃剛走過的表面部分上，沿表面方向出現(xiàn)塑性收縮、而在表面的垂直方

5、向出現(xiàn)拉伸塑性變形——這就是塑性凸出效應(yīng)，結(jié)果磨削表面出現(xiàn)殘余拉應(yīng)力。在切削加工過程中，刀具和工件之間會(huì)產(chǎn)生作用力。垂直于被加工表面的作用力和由此產(chǎn)生的摩擦力一起對(duì)被加工表面產(chǎn)生擠光作用。當(dāng)?shù)度胁讳h利或切削條件惡劣時(shí)，擠光作用的影響更為明顯，擠光作用會(huì)使零件表面產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力。熱應(yīng)力的影響磨削時(shí)，磨削表面層在磨削熱的作用下產(chǎn)生熱膨脹，而此時(shí)基體溫度較低，磨削表面層的熱膨脹受到基體的限制而產(chǎn)生壓縮應(yīng)力。當(dāng)表面層的溫度超過材料的彈性變形所允許的溫度時(shí)，表面層的溫度下降至與基體溫度一致時(shí)，表面層產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力。磨削液冷卻效應(yīng)磨削過程中，由于磨削液的使用，磨

6、削表面層在冷卻過程中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)降溫梯度，它與熱應(yīng)力的影響剛好相反，它可減緩由熱應(yīng)力造成的表面殘余拉應(yīng)力。磨削過程中，除了上述影響殘余應(yīng)力的因素外，還有表面層的二次淬火及表層的回火現(xiàn)象。磨削表面殘余應(yīng)力數(shù)學(xué)模型的建立通過上述分析可知，影響磨削表面殘余應(yīng)力的主要因素可歸納為：磨削力、磨削溫度和磨削液的冷卻性。力和溫度是磨削過程中產(chǎn)生的兩種磨削現(xiàn)象，直接對(duì)殘余應(yīng)力產(chǎn)生影響；而磨削液對(duì)殘余應(yīng)力的影響，一方面是通過表面的降溫過程直接產(chǎn)生的，另一方面是通過對(duì)力和溫度的影響間接產(chǎn)生的。本文試圖通過對(duì)力和溫度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以及磨削表面二維殘余應(yīng)力測(cè)試數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)處理，給

7、出一種反映力、溫度和磨削液的冷卻性能與表面殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型中應(yīng)包括上述影響磨削表面殘余應(yīng)力的因素，即：sRT=sF+sR+sL式中：sRT——磨削表面殘余應(yīng)力sF——磨削力的影響sR——磨削溫度的影響sL——磨削液冷卻性能的影響磨削力與殘余應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型首先依據(jù)圖1所示的模型來分析殘余應(yīng)力與塑性變形之間的關(guān)系。圖1a為自由狀態(tài)下的兩個(gè)彈簧，圖1b為兩個(gè)彈簧被放入剛性板之間的狀態(tài)。根據(jù)平衡條件可得出6N=k1k2(l1-l2)/(k1+k2)式中：N——兩個(gè)彈簧被放入剛性板后彈簧的內(nèi)力l1、l2——兩個(gè)彈簧在自由狀態(tài)下的長(zhǎng)度k1、k

8、2——兩個(gè)彈簧的彈性系數(shù)l1-l2可看作是本文意義上的塑性變形。從上式中可得出，內(nèi)力與塑性變形呈正比，即殘余