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1、一、定義二、性質三、逆轉公式與唯一性定理第4.5節(jié)特征函數(shù)四、分布函數(shù)的再生性五、多元特征函數(shù)1.問題的引出一、定義隨機變量的數(shù)字特征只反映了概率分布的某些側面，一般情況下，無法僅由數(shù)字特征確定分布函數(shù)，因此需要引進隨機變量的另一個指標，該指標是可以反映隨機變量的本質特征，可以唯一確定隨機變量的分布函數(shù)，該指標就是特征函數(shù).2.定義定義4.5.1如果?與?都是概率空間(?,F,P)上的實值隨機變量，則稱?=?+i?的復隨機變量.復隨機變量?=?+i?的數(shù)學期望為E(?)=E(?)+iE(?)復隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，設?=g(?),由此可以引出：為?的特征函數(shù)(characteristicf
2、unction)3.離散情形與連續(xù)情形下的特征函數(shù)設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為p(x),則其特征函數(shù)為同時我們注意到，連續(xù)型隨機變量的特征函數(shù)f(t)是密度函數(shù)p(x)的傅立葉變換.4.常見分布的特征函數(shù)【退化分布】【二項分布】【泊松分布】【?分布】G(?,r)二、性質(1)性質1(2)性質2特征函數(shù)在(-?,?)上一致連續(xù).證明證明由此可以看到，A足夠大時，第一部分可以任意小，h的絕對值足夠小時，第二部分也可以任意小.(3)性質3證明：此性質為特征函數(shù)的非負定性.(4)性質4兩個相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積推廣應用獨立隨機變量和的分布函數(shù)可以用褶積的方法去求解，但
3、相當復雜，如果用特征函數(shù)去求，就相對容易。(5)性質5這是因為令t=0即可證明性質5.關于廣義積分的求導，這是因為應用可以利用特征函數(shù)得到隨機變量的各階矩由上述性質可知，特征函數(shù)f(t)的泰勒展開式為：(6)性質6這是因為例1(p227例5）試求正態(tài)分布的特征函數(shù).解先求標準正態(tài)分布的特征函數(shù)，由于即其他常見的分布的特征函數(shù)參見p332附錄一.三、逆轉公式與唯一性定理特征函數(shù)可以由分布函數(shù)確定，相應的由特征函數(shù)也可以唯一確定分布函數(shù).也就是說特征函數(shù)是分布函數(shù)的本質特征.此定理的證明需要下面的引理則證明由狄利克雷積分可知因而由此可以得到引例的結論定理4.5.1的證明：由于對于?>0,因而因此
4、經(jīng)過交換積分次序我們可以得到由引理可知，控制收斂定理（即積分號與極限符號交換次序）以及引理的結論可知定理4.5.2(唯一性定理）分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定.證明應用逆轉公式，在F(x)的每一連續(xù)點上，當y沿著F(x)的連續(xù)點趨于-∞時，有同時分布函數(shù)由其連續(xù)點上的值唯一確定證明：利用勒貝格控制收斂定理（即極限符號與積分符合交換次序）可得四、分布函數(shù)的再生性分布函數(shù)的再生性，也就是分布函數(shù)對隨機變量具有可加性.解：由于因而解：由于因而解：由于因而解：由于因而Back說明：前面討論了隨機變量分布的可加性（再生性），也就是由隨機變量的分布函數(shù)可以確定和的分布函數(shù)；相反的，由和的分布函數(shù)是否可以確
5、定這兩個隨機變量的分布函數(shù)呢？現(xiàn)在已經(jīng)可以證明對于正態(tài)分布以及泊松分布而言，這個結論是成立的，也就是兩個獨立的隨機變量和的分布是正態(tài)分布或泊松分布，則這兩個隨機變量也都服從正態(tài)分布或泊松分布.五、多元特征函數(shù)1、多元特征函數(shù)的定義2、多元特征函數(shù)的性質(1)性質1(2)性質2(3)性質3(4)性質4(5)性質5(6)性質6附錄一（p332)常見分布表表中第五列給出了常見分布函數(shù)的特征函數(shù).作業(yè)習題四(p245)48、50、51、52
