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1、一、定義二、性質(zhì)三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理第4.5節(jié)特征函數(shù)四、分布函數(shù)的再生性五、多元特征函數(shù)1.問題的引出一、定義隨機(jī)變量的數(shù)字特征只反映了概率分布的某些側(cè)面，一般情況下，無法僅由數(shù)字特征確定分布函數(shù)，因此需要引進(jìn)隨機(jī)變量的另一個(gè)指標(biāo)，該指標(biāo)是可以反映隨機(jī)變量的本質(zhì)特征，可以唯一確定隨機(jī)變量的分布函數(shù)，該指標(biāo)就是特征函數(shù).2.定義定義4.5.1如果?與?都是概率空間(?,F,P)上的實(shí)值隨機(jī)變量，則稱?=?+i?的復(fù)隨機(jī)變量.復(fù)隨機(jī)變量?=?+i?的數(shù)學(xué)期望為E(?)=E(?)+iE(?)復(fù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，設(shè)?=g(?),由此可以引出：為?的特征函數(shù)(characteristicf
2、unction)3.離散情形與連續(xù)情形下的特征函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為p(x),則其特征函數(shù)為同時(shí)我們注意到，連續(xù)型隨機(jī)變量的特征函數(shù)f(t)是密度函數(shù)p(x)的傅立葉變換.4.常見分布的特征函數(shù)【退化分布】【二項(xiàng)分布】【泊松分布】【?分布】G(?,r)二、性質(zhì)(1)性質(zhì)1(2)性質(zhì)2特征函數(shù)在(-?,?)上一致連續(xù).證明證明由此可以看到，A足夠大時(shí)，第一部分可以任意小，h的絕對(duì)值足夠小時(shí)，第二部分也可以任意小.(3)性質(zhì)3證明：此性質(zhì)為特征函數(shù)的非負(fù)定性.(4)性質(zhì)4兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積推廣應(yīng)用獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布函數(shù)可以用褶積的方法去求解，但
3、相當(dāng)復(fù)雜，如果用特征函數(shù)去求，就相對(duì)容易。(5)性質(zhì)5這是因?yàn)榱顃=0即可證明性質(zhì)5.關(guān)于廣義積分的求導(dǎo)，這是因?yàn)閼?yīng)用可以利用特征函數(shù)得到隨機(jī)變量的各階矩由上述性質(zhì)可知，特征函數(shù)f(t)的泰勒展開式為：(6)性質(zhì)6這是因?yàn)槔?(p227例5）試求正態(tài)分布的特征函數(shù).解先求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)，由于即其他常見的分布的特征函數(shù)參見p332附錄一.三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理特征函數(shù)可以由分布函數(shù)確定，相應(yīng)的由特征函數(shù)也可以唯一確定分布函數(shù).也就是說特征函數(shù)是分布函數(shù)的本質(zhì)特征.此定理的證明需要下面的引理則證明由狄利克雷積分可知因而由此可以得到引例的結(jié)論定理4.5.1的證明：由于對(duì)于?>0,因而因此
4、經(jīng)過交換積分次序我們可以得到由引理可知，控制收斂定理（即積分號(hào)與極限符號(hào)交換次序）以及引理的結(jié)論可知定理4.5.2(唯一性定理）分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定.證明應(yīng)用逆轉(zhuǎn)公式，在F(x)的每一連續(xù)點(diǎn)上，當(dāng)y沿著F(x)的連續(xù)點(diǎn)趨于-∞時(shí)，有同時(shí)分布函數(shù)由其連續(xù)點(diǎn)上的值唯一確定證明：利用勒貝格控制收斂定理（即極限符號(hào)與積分符合交換次序）可得四、分布函數(shù)的再生性分布函數(shù)的再生性，也就是分布函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量具有可加性.解：由于因而解：由于因而解：由于因而解：由于因而Back說明：前面討論了隨機(jī)變量分布的可加性（再生性），也就是由隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以確定和的分布函數(shù)；相反的，由和的分布函數(shù)是否可以確
5、定這兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)呢？現(xiàn)在已經(jīng)可以證明對(duì)于正態(tài)分布以及泊松分布而言，這個(gè)結(jié)論是成立的，也就是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布是正態(tài)分布或泊松分布，則這兩個(gè)隨機(jī)變量也都服從正態(tài)分布或泊松分布.五、多元特征函數(shù)1、多元特征函數(shù)的定義2、多元特征函數(shù)的性質(zhì)(1)性質(zhì)1(2)性質(zhì)2(3)性質(zhì)3(4)性質(zhì)4(5)性質(zhì)5(6)性質(zhì)6附錄一（p332)常見分布表表中第五列給出了常見分布函數(shù)的特征函數(shù).作業(yè)習(xí)題四(p245)48、50、51、52
