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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§4.1數(shù)學(xué)期望2§4.1數(shù)學(xué)期望布萊士·帕斯卡兩個(gè)賭徒甲、乙向他提出了一個(gè)問(wèn)題:甲乙兩個(gè)人賭博,兩人獲勝的機(jī)率相等,約定誰(shuí)先贏滿(mǎn)5局,誰(shuí)就獲得100法郎。甲贏了4局,乙贏了3局,時(shí)間很晚了,他們都不想再賭下去了。那么,這個(gè)錢(qián)應(yīng)該怎么分?甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25一、數(shù)學(xué)期望的由來(lái)設(shè)X為甲獲得的法郎,Y為乙獲得的法郎3§4.1數(shù)學(xué)期望二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X
2、=xk)=pk,k=1,2,…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱(chēng)級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即4§4.1數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的算術(shù)平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱(chēng)均值.(2)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.5§4.1數(shù)學(xué)期望例1:設(shè)有10個(gè)同種電子元件,其中2個(gè)廢品。裝配儀器時(shí),從這10
3、個(gè)中任取1個(gè),若是廢品,扔掉后重取1只,求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解:X的分布律為:6§4.1數(shù)學(xué)期望例2:某車(chē)站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一輛客車(chē)到站,但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為一旅客8:20到車(chē)站,求他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。8:108:308:50到站時(shí)刻9:109:309:50概率7§4.1數(shù)學(xué)期望例3:8§4.1數(shù)學(xué)期望三、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望9§4.1數(shù)學(xué)期望例4:10例5:設(shè)X的概率密度為求解:§4.1數(shù)學(xué)期望11§4.1數(shù)
4、學(xué)期望幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望12§4.1數(shù)學(xué)期望四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若Y=g(X),且則有13§4.1數(shù)學(xué)期望例6設(shè)X-2020.40.30.3P則E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+5=13.4(思考)14§4.1數(shù)學(xué)期望2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型r.v,其密度為f(x),則g(X)的期望為15例7:§4.1數(shù)學(xué)期望16§4.1數(shù)學(xué)
5、期望1.設(shè)C是常數(shù),則有證明2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明例如五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)17§4.1數(shù)學(xué)期望4.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有一般地,E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)18數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)§4.1數(shù)學(xué)期望六、小結(jié)19§4.2方差20§4.2方差現(xiàn)有兩批燈泡,第一批燈泡壽命為:一半約950小時(shí),另一半約1050小時(shí),平均壽命為1
6、000小時(shí);第二批燈泡壽命為一半約1300小時(shí),另一半約700小時(shí),平均壽命為1000小時(shí)。問(wèn)題:哪批燈泡的質(zhì)量更好?(質(zhì)量更穩(wěn)定)單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷,進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。21§4.2方差一、方差的定義1、方差是一個(gè)特殊的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的期望;2、方差用來(lái)度量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望(即均值)的偏離程度。22§4.2方差離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差二、方差的計(jì)算(1)利用定義計(jì)算23§4.2方差證明(2)利用公式計(jì)算24§4.2方差證明三、
7、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明25§4.2方差(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證明注:相互獨(dú)立時(shí),乘積的期望等于期望的乘積。26§4.2方差綜上:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,E(X),E(Y),D(X),D(Y)存在,a,b,c是常數(shù),則注意:對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y都有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)27例1:設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布,其分布律為:解:§4.2方差28§4.2方差例2:解:29§4.2方差解例3:30§4.2方差解例4:于是3
8、1§4.2方差解例5:32§4.2方差33分 布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布§4.2方差34§4.2方差35§4.2方差契比雪夫不等式36§4.2方差四、小結(jié)1.方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.2.方差的計(jì)算公式37