數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工).doc

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1、數(shù)學(xué)竟賽培訓(xùn)資料(理工)第六講曲線積分（一）內(nèi)容要點(diǎn)及重要方法提示1.第一型(對(duì)弧長(zhǎng))曲線積分.弧微分.注意無方向問題,一般計(jì)算程序:畫出積分路徑的圖形;將路徑用參數(shù)式表示;表dl為參變量的微分式后化成定積分計(jì)算.(1)化成參變量的定積分計(jì)算.例6.1.設(shè)c>0為常數(shù),L:的弧長(zhǎng).解.L的參數(shù)方程是:因此所求弧長(zhǎng).例6.2.計(jì)算均勻密度的球面在第一卦限部分的邊界曲線的重心坐標(biāo).解.邊界曲線的三段弧分別有參數(shù)方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=

2、asinφ,0≤φ≤π∕2.曲線周長(zhǎng)s=3aπ∕2,及(2)第一型曲線積分的對(duì)稱性用法.例6.3.計(jì)算積分I=a>0.解.用極坐標(biāo),L:.根據(jù)對(duì)稱性得積分I=4.例6.4.設(shè)L是順時(shí)針方向橢圓=.(2001天津賽)解.根據(jù)對(duì)稱性得積分=4l.2.第二型(對(duì)坐標(biāo))曲線積分.注意有方向問題,一般計(jì)算方法有:化成參變量的定積分計(jì)算;應(yīng)用格林公式或斯托克斯公式;利用與路徑無關(guān)條件計(jì)算.(1)化成參變量的定積分計(jì)算.例6.5.設(shè)L為正向圓周=.解.L:于是有積分=3π∕2.例6.6.設(shè)C是從球面上任一點(diǎn)的任一光滑曲線(a>0,b>0),計(jì)算積分I=,其中.解.

3、rdr=xdx+ydy+zdz,I=.(2)格林公式的應(yīng)用(注意條件).當(dāng)L不閉合時(shí),應(yīng)添加光滑曲線使其閉合后再用格林公式.例6.7.設(shè)L是分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線,(2,0)、(-2,0)兩點(diǎn)不在L上.試就L的不同情形分別計(jì)算如下曲線積分的值:(1991上海競(jìng)賽)解.令A(yù)(2,0),B(-2,0),L包圍的平面區(qū)域內(nèi)部為D,記.則(1)A、B均為G的外點(diǎn),根據(jù)格林公式有I=0.(2)A為G的內(nèi)點(diǎn),B為G的外點(diǎn),則以A為中心作半徑r充分小的閉圓盤E含于D內(nèi),記E的正向邊界為C,有I==且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=-2

4、π.(3)A為G的外點(diǎn),B為G的內(nèi)點(diǎn),同理可得I=-2π.(4)A、B均為G的內(nèi)點(diǎn),與(2)相仿,在D內(nèi)分別以A、B為中心作半徑r充分小的閉圓盤使它們的并集含于D內(nèi),仍用格林公式可得I=-4π.(3)積分與路徑無關(guān)的問題.例6.8.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),求積分其中C是從點(diǎn)A(3,2∕3)到點(diǎn)B(1,2)的直線段.(1994北京競(jìng)賽)解.積分與路徑無關(guān),因此積分為(4)求原函數(shù)問題.例6.9.設(shè)函數(shù)Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階騙導(dǎo)數(shù),曲線積分與路徑無關(guān),并且對(duì)任意的t恒有求Q(x,y).(2001天津)解.因積分與路徑

5、無關(guān),有其中C(y)為待定函數(shù).又的兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得2t=1+C(t),由此推出例6.10.確定常數(shù)λ,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xyj為某二元函數(shù)u(x,y)的梯度,并求u(x,y).(1998研)解.令P(x,y)=2xy解得λ=-1.然后有u(x,y)=(5)曲線積分的證明題.例6.11.設(shè)P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)以任意點(diǎn)為圓心,以任意正數(shù)r為半徑的上半圓L:證明:(2004天津競(jìng)賽)證.記上半圓直徑為AB,取AB+L為逆時(shí)針方向,其包圍的區(qū)域?yàn)镈,由格林公式與積分中值定理M∈D,且于是的任意性知P(x,

6、y)≡0,且例6.12.設(shè)函數(shù)φ(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(1)證明:對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C,有(2)求函數(shù)φ(y)的表達(dá)式.(2005研)解.(1)設(shè)C是半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線,在C上任取兩點(diǎn)M、N,圍繞原點(diǎn)作閉曲線(如圖)進(jìn)行積分即得證明.(2)由(1),在半平面x>0內(nèi)積分與路徑無關(guān),得例6.13.設(shè)在上半平面D={(x,y)

7、y>0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意的t>0都有f(tx,ty)=證明:對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲

8、線L,都有(2006研)證.又f(tx,ty)=對(duì)t求導(dǎo)后,令t=1,即可得結(jié)果.3.曲線積分的應(yīng)用題.例6.14.若懸鏈線上每一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)的縱坐標(biāo)成反比,且在點(diǎn)(0,a)的密度等于b.試求曲線在橫坐標(biāo)0到a的點(diǎn)之間弧段C的質(zhì)量m.解.由條件知曲線上點(diǎn)(x,y)處的密度為ab∕y,于是m=例6.15.質(zhì)點(diǎn)P在力F作用下從點(diǎn)A(1,2)沿著直徑AB的半圓周(見圖)運(yùn)動(dòng)到B(3,4),F的大小等于點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)間的距離,方向垂直于線段OP且與y軸正向夾角為銳角.求變力F所作的功W.解.F=-yi+xj,令L是所述AB弧:于是W=4.兩類曲線積分

9、的聯(lián)系.其中cosα,cosβ,cosγ為有向曲線L的正向切線的方向余弦.（二）習(xí)題6.1.填空題:設(shè)當(dāng)x?