對函數(shù)概念教學(xué)的幾點思考.doc

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1、對函數(shù)概念教學(xué)的幾點思考【摘要】函數(shù)的概念及相關(guān)內(nèi)容是高中教材中非常重要的部分，許多學(xué)生認(rèn)為這些內(nèi)容比較抽象、難懂、圖像多，方法靈活多樣，以致部分學(xué)生對函數(shù)知識產(chǎn)生恐懼感。就教學(xué)過程中學(xué)生的反應(yīng)和自己的反思，淺淡幾點自己的看法【關(guān)鍵詞】函數(shù)對應(yīng)映射數(shù)形結(jié)合一、要把握函數(shù)的實質(zhì)十七世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之後，就有瞭函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的是萊佈尼茲，歐拉在仃34年首次用f(x)作為函數(shù)符號。關(guān)於函數(shù)概念有”變量說”、”對應(yīng)說”、”集合說”等。變量說的定義是：設(shè)x、y是兩個變量，如果當(dāng)變量x在實數(shù)的

2、某一范圍內(nèi)變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)o初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y,並且對於x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那麼y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形象和直觀、通俗地描述瞭變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實質(zhì)--對應(yīng)缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成

3、x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖,究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y二f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系迪裡赫萊註意到瞭”對應(yīng)關(guān)系”，於1837年提出：對於在某一區(qū)間上的每一確定的x值y都有一個或多個確定的值與之對應(yīng),那麼y叫x的一個函數(shù)。19世紀(jì)70年代集合論問世後，明確把集合到集合的單值對應(yīng)稱為映射，並把：”一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對應(yīng)說的優(yōu)點有：①它抓住瞭函數(shù)的實質(zhì)--對應(yīng)，是一種對應(yīng)法則。②它以集合為基礎(chǔ)，更具普遍性。③它將抽象的知識以模型並賦予生活化，比如：某班

4、每一位同學(xué)與身高(實數(shù))的對應(yīng)；某班同學(xué)與某次測試的成績的對應(yīng)；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應(yīng)等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出瞭函數(shù)的實質(zhì)對於集合說是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個最原始的概念，而函數(shù)的定義裡的”對應(yīng)”卻是一個外加的形式，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫采用瞭純集合論形式的定義：如果集合fC{(x,y2)ef,則y1=y2,這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這裡f為AxB={(x,y)

5、xeA,ywB}的一個特殊子集，而(x,y)又是用集合定

6、義的：(x,y)={{x},{x,y}}o定義過於形式化，它舍棄瞭函數(shù)關(guān)系生動的直觀，既看不出對應(yīng)法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語言隻能在計算機中應(yīng)用y)

7、xeA,ywB}且滿足條件，對於每一個xeA,若(x,y1)ef,(x,二、加強數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，並進行廣泛應(yīng)用的過程。在7/2年級所研究的函數(shù)主要是幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得

8、無比重要。我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)於佛教教徒心中各種各樣的佛像，隻要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問題時就會得心應(yīng)手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用三、將映射概念下放就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實質(zhì)的隻有”對應(yīng)說”,如果在初中階段把”變量說”的定義替換成”對應(yīng)說”的定義，可有以下優(yōu)點：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學(xué)生今後的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。⑵凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。⑶變抽象內(nèi)容形象化，替換後學(xué)生會感

9、到函數(shù)概念不再那麼抽象難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學(xué)生就會感到函數(shù)不再那麼可怕，它無非是一種映射。隻需將集合論的初步知識下放一些即可,學(xué)生完全能夠接受，因為從小學(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔(dān)心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當(dāng)時不也有人提出反對意見嗎?可現(xiàn)在不也下放到瞭小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易於接受，學(xué)生就不會提出”到底什麼是函數(shù)？”這樣的問題四、區(qū)分函數(shù)與方程盡管函數(shù)和方程都是反映量與量之間的關(guān)系，可

10、函數(shù)反映的是變量和變量之間的關(guān)系，強調(diào)的是一個變量隨另一個變量的變化情況，從函數(shù)的角度來看，考慮的是x和y在各自取值范圍內(nèi)，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系，等式F(x,y)=0是一個方程，隻有在一定條件下才能確定為一個函數(shù)，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數(shù)值時才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數(shù)關(guān)系可以用解析式