功率譜估計(jì)常用方法的探討.doc

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1、功率譜估計(jì)常用方法的探討摘要:進(jìn)行傅里葉變換在頻域中研究信號(hào)，是研究確定性信號(hào)最簡(jiǎn)單且有效的手段，但在現(xiàn)代信號(hào)分析中，對(duì)于常見(jiàn)的隨機(jī)信號(hào)，不可能用清楚的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述，其傅里葉變換更不存在，轉(zhuǎn)而可以利用給定的N個(gè)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度。功率譜估計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理的重要研究?jī)?nèi)容之一。關(guān)鍵詞：經(jīng)典譜估計(jì)；現(xiàn)代譜估計(jì)；BT法；周期圖法；在通信系統(tǒng)中，往往需要研究具有目中統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)信號(hào)。由于隨機(jī)信號(hào)是一類(lèi)持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，具有無(wú)限大能量的功率信號(hào)，它不滿(mǎn)足傅里葉變換條件，而且也不存在解析表達(dá)式，因

2、此就不能夠應(yīng)用確定信號(hào)的頻譜計(jì)算方法去分析隨機(jī)信號(hào)的頻譜。然而，雖然隨機(jī)信號(hào)的頻譜不存在，但其相關(guān)函數(shù)是可以確定的。如果隨機(jī)信號(hào)是平穩(wěn)的，那么其相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)功率譜。功率譜估計(jì)是隨機(jī)信號(hào)處理的重要內(nèi)容，其技術(shù)淵源很長(zhǎng)，而且在過(guò)去的40余年中獲得了飛速的發(fā)展。涉及到信號(hào)與系統(tǒng)、隨機(jī)信號(hào)分析、概率統(tǒng)計(jì)、矩陣代數(shù)等一系列的基礎(chǔ)學(xué)科，廣泛應(yīng)用于人民的日常生活及軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)活動(dòng)中，是一個(gè)具有強(qiáng)大生命力的研究領(lǐng)域。功率譜的估計(jì)方法有很多，主要有經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)。經(jīng)典譜估計(jì)又可以

3、分成兩種：一種是BT法，也叫間接法；另一種是直接法又稱(chēng)周期圖法?，F(xiàn)代譜估計(jì)的方法又大致可分為參數(shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)。英國(guó)科學(xué)家牛頓最早給出了“譜”的概念。后來(lái)，1822年，法國(guó)工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進(jìn)行信號(hào)分析和信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。周期圖法又稱(chēng)直接法。它是從隨機(jī)信號(hào)x(n)中截取N長(zhǎng)的一段，把它視為能量有限x(n)真實(shí)功率譜Sx(ejw)的估計(jì)Sx(ejw)的抽樣.周期圖這一概念早在1899年就提出了，但由于點(diǎn)數(shù)Ｎ一般比較大，該方法的計(jì)算量過(guò)大而在當(dāng)時(shí)無(wú)法使用。

4、只是1965年FFT出現(xiàn)后，此法才變成譜估計(jì)的一個(gè)常用方法。周期圖法包含了二條假設(shè)：1．認(rèn)為隨機(jī)序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個(gè)樣本x(n)中的一段xN(n)來(lái)估計(jì)該隨機(jī)序列的功率譜。這當(dāng)然必然帶來(lái)誤差。2．由于對(duì)xN(n)采用DFT，就默認(rèn)xN(n)在時(shí)域是周期的，以及xN(k)在頻域是周期的。這種方法把隨機(jī)序列樣本x(n)看成是截得一段xN(n)的周期延拓，這也就是周期圖法這個(gè)名字的來(lái)歷。與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)Rx(m)時(shí)將xN(n)以外是數(shù)據(jù)全都看成零，因此相關(guān)法認(rèn)為除xN(n)外x(

5、n)是全零序列，這種處理方法顯然與周期圖法不一樣。但是，當(dāng)相關(guān)法被引入基于FFT的快速相關(guān)后，相關(guān)法和周期圖法開(kāi)始融合。比我們發(fā)現(xiàn)：如果相關(guān)法中M=N，不加延遲窗，那么就和充（N-1）個(gè)零的周期圖法一樣了。簡(jiǎn)單地可以這樣說(shuō)：周期圖法是M=N時(shí)相關(guān)法的特例。因此相關(guān)法和周期圖法可結(jié)合使用。Bartlett法對(duì)周期圖法改進(jìn)的思想是將信號(hào)分段進(jìn)行估計(jì)，然后再將這些估計(jì)結(jié)果進(jìn)行平均，從而減小估計(jì)的協(xié)方差，是功率譜圖變得比直接法更平滑。增加分段數(shù)可以進(jìn)一步減低估計(jì)的協(xié)方差，然而若每段中的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)太少，就會(huì)使估計(jì)的頻率分

6、辨率下降很多。從樣本信號(hào)序列總點(diǎn)數(shù)一定的條件下，可以采用使分段相互重疊的方法來(lái)增加分段數(shù)，從而保持每段信號(hào)點(diǎn)數(shù)不變，這樣就在保證頻率分辨率的前提下進(jìn)一步降低估計(jì)協(xié)方差。而一般的Bartlett法是通過(guò)降低分辨率來(lái)降低其方差的。Bartlett平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列x(n)分段求周期圖再平均。Welch法現(xiàn)在比較常用的改進(jìn)方法是Welch法，又叫加權(quán)交疊平均法，簡(jiǎn)記為WOSA法，這種方法以加窗（加權(quán)）求取平滑，以分段重疊求得平均，因此集平均與平滑的優(yōu)點(diǎn)于一體，同時(shí)也不可避免帶有兩者的缺點(diǎn)，因此歸根

7、到底是一種折中。在經(jīng)典譜估計(jì)中,無(wú)論是周期圖法還是其改進(jìn)的方法,都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問(wèn)題，原因是譜估計(jì)時(shí)需要對(duì)數(shù)據(jù)加窗截?cái)?，用有限個(gè)數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來(lái)估計(jì)無(wú)限個(gè)數(shù)據(jù)的功率譜，這其實(shí)是假定了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假定是不符合實(shí)際的，正是由于這些不符合實(shí)際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計(jì)分辨率較差。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無(wú)求均值運(yùn)算又無(wú)求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時(shí)，這個(gè)問(wèn)題更為突出。如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻譜分辨率，如何在短數(shù)據(jù)情況下提高信號(hào)譜估計(jì)質(zhì)量，

8、還需要進(jìn)一步研究?，F(xiàn)代功率譜估計(jì)即參數(shù)譜估計(jì)方法是通過(guò)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計(jì)信號(hào)功率譜,主要是針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)的分辨率低和方差性能不好等問(wèn)題提出的。常用模型有ARMA模型、AR模型、MA模型,AR模型的正則方程是一組線(xiàn)性方程，而MA和ARMA模型是非線(xiàn)性方程。由于A(yíng)R模型具有一系列良好的性能，因此被研究最多也得到最廣泛的應(yīng)用。本節(jié)將較為詳細(xì)的討論AR模型，并對(duì)MA和AR