功率譜估計常用方法的探討.doc

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1、功率譜估計常用方法的探討摘要:進行傅里葉變換在頻域中研究信號，是研究確定性信號最簡單且有效的手段，但在現(xiàn)代信號分析中，對于常見的隨機信號，不可能用清楚的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，其傅里葉變換更不存在，轉(zhuǎn)而可以利用給定的N個樣本數(shù)據(jù)估計一個平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度。功率譜估計是數(shù)字信號處理的重要研究內(nèi)容之一。關(guān)鍵詞：經(jīng)典譜估計；現(xiàn)代譜估計；BT法；周期圖法；在通信系統(tǒng)中，往往需要研究具有目中統(tǒng)計特性的隨機信號。由于隨機信號是一類持續(xù)時間無限長，具有無限大能量的功率信號，它不滿足傅里葉變換條件，而且也不存在解析表達式，因

2、此就不能夠應(yīng)用確定信號的頻譜計算方法去分析隨機信號的頻譜。然而，雖然隨機信號的頻譜不存在，但其相關(guān)函數(shù)是可以確定的。如果隨機信號是平穩(wěn)的，那么其相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜。功率譜估計是隨機信號處理的重要內(nèi)容，其技術(shù)淵源很長，而且在過去的40余年中獲得了飛速的發(fā)展。涉及到信號與系統(tǒng)、隨機信號分析、概率統(tǒng)計、矩陣代數(shù)等一系列的基礎(chǔ)學(xué)科，廣泛應(yīng)用于人民的日常生活及軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)活動中，是一個具有強大生命力的研究領(lǐng)域。功率譜的估計方法有很多，主要有經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計。經(jīng)典譜估計又可以

3、分成兩種：一種是BT法，也叫間接法；另一種是直接法又稱周期圖法。現(xiàn)代譜估計的方法又大致可分為參數(shù)模型譜估計和非參數(shù)模型譜估計。英國科學(xué)家牛頓最早給出了“譜”的概念。后來，1822年，法國工程師傅立葉提出了著名的傅立葉諧波分析理論。該理論至今依然是進行信號分析和信號處理的理論基礎(chǔ)。周期圖法又稱直接法。它是從隨機信號x(n)中截取N長的一段，把它視為能量有限x(n)真實功率譜Sx(ejw)的估計Sx(ejw)的抽樣.周期圖這一概念早在1899年就提出了，但由于點數(shù)Ｎ一般比較大，該方法的計算量過大而在當時無法使用。

4、只是1965年FFT出現(xiàn)后，此法才變成譜估計的一個常用方法。周期圖法包含了二條假設(shè)：1．認為隨機序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個樣本x(n)中的一段xN(n)來估計該隨機序列的功率譜。這當然必然帶來誤差。2．由于對xN(n)采用DFT，就默認xN(n)在時域是周期的，以及xN(k)在頻域是周期的。這種方法把隨機序列樣本x(n)看成是截得一段xN(n)的周期延拓，這也就是周期圖法這個名字的來歷。與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)Rx(m)時將xN(n)以外是數(shù)據(jù)全都看成零，因此相關(guān)法認為除xN(n)外x(

5、n)是全零序列，這種處理方法顯然與周期圖法不一樣。但是，當相關(guān)法被引入基于FFT的快速相關(guān)后，相關(guān)法和周期圖法開始融合。比我們發(fā)現(xiàn)：如果相關(guān)法中M=N，不加延遲窗，那么就和充（N-1）個零的周期圖法一樣了。簡單地可以這樣說：周期圖法是M=N時相關(guān)法的特例。因此相關(guān)法和周期圖法可結(jié)合使用。Bartlett法對周期圖法改進的思想是將信號分段進行估計，然后再將這些估計結(jié)果進行平均，從而減小估計的協(xié)方差，是功率譜圖變得比直接法更平滑。增加分段數(shù)可以進一步減低估計的協(xié)方差，然而若每段中的數(shù)據(jù)點數(shù)太少，就會使估計的頻率分

6、辨率下降很多。從樣本信號序列總點數(shù)一定的條件下，可以采用使分段相互重疊的方法來增加分段數(shù)，從而保持每段信號點數(shù)不變，這樣就在保證頻率分辨率的前提下進一步降低估計協(xié)方差。而一般的Bartlett法是通過降低分辨率來降低其方差的。Bartlett平均周期圖的方法是將N點的有限長序列x(n)分段求周期圖再平均。Welch法現(xiàn)在比較常用的改進方法是Welch法，又叫加權(quán)交疊平均法，簡記為WOSA法，這種方法以加窗（加權(quán)）求取平滑，以分段重疊求得平均，因此集平均與平滑的優(yōu)點于一體，同時也不可避免帶有兩者的缺點，因此歸根

7、到底是一種折中。在經(jīng)典譜估計中,無論是周期圖法還是其改進的方法,都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計時需要對數(shù)據(jù)加窗截斷，用有限個數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來估計無限個數(shù)據(jù)的功率譜，這其實是假定了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假定是不符合實際的，正是由于這些不符合實際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計分辨率較差。另外，經(jīng)典譜估計的功率譜定義中既無求均值運算又無求極限運算，因而使得譜估計的方差性能較差，當數(shù)據(jù)很短時，這個問題更為突出。如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻譜分辨率，如何在短數(shù)據(jù)情況下提高信號譜估計質(zhì)量，

8、還需要進一步研究?，F(xiàn)代功率譜估計即參數(shù)譜估計方法是通過觀測數(shù)據(jù)估計參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計信號功率譜,主要是針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出的。常用模型有ARMA模型、AR模型、MA模型,AR模型的正則方程是一組線性方程，而MA和ARMA模型是非線性方程。由于AR模型具有一系列良好的性能，因此被研究最多也得到最廣泛的應(yīng)用。本節(jié)將較為詳細的討論AR模型，并對MA和AR