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1、第5章數(shù)理統(tǒng)計初步5.2統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷包括：參數(shù)估計和假設(shè)檢驗．5.2.1參數(shù)估計總體的分布函數(shù)形式已知或未知，估計該總體分布的未知參數(shù)或總體的某些數(shù)字特征的問題，稱為參數(shù)估計問題．參數(shù)估計分：點估計和區(qū)間估計．一、參數(shù)的點估計1．點估計的概念設(shè)為總體分布中的未知參數(shù)，即待估參數(shù)，從總體中抽取一個樣本，相應(yīng)的一個樣本觀察值為．利用樣本構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，用它的觀察值來估計未知參數(shù)的方法稱為點估計．稱統(tǒng)計量為的估計量，稱為的估計值．在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱估計量與估計值為估計，簡記為．2．矩估計法——數(shù)字特征法矩估計法就是利用樣本矩來估計對應(yīng)的總體矩
2、．設(shè)總體的一個樣本為，總體矩為，樣本矩為則令 ，為未知參數(shù)的個數(shù)．（1）一個未知參數(shù)解方程，便得到矩估計．例3設(shè)為來自總體的樣本，求的矩估計．解，令，即，解得，所以的矩估計為．．（2）兩個未知參數(shù)解方程組便可得到矩估計，其中．例4設(shè)總體的密度函數(shù)為．為來自總體的樣本，求的矩估計．解令得解得的矩估計為，的矩估計為．例5已知某批燈泡壽命，今從中抽取4只進行壽命試驗，測得數(shù)據(jù)如下：（單位：小時）1502，1453，1367，1650，試估計參數(shù)和．解由方程組可直接得出和的矩估計．的矩估計：（1502+1453+1367+1650）=1493（小時
3、），的矩估計：=．===10551.5（小時平方）．3．點估計的優(yōu)良標準對于給定的總體未知參數(shù)，點估計的求法不近相同，那么就有必要給出評價同一參數(shù)不同的點估計量好壞的標準．（1）無偏性估計量是一個隨機變量，對于不同的樣本觀察值得到的參數(shù)估計值也是不同的，但總希望這些值能在待估計的參數(shù)真值附近擺動，且這種擺動盡可能地小，這就是無偏性的概念．定義6設(shè)為未知參數(shù)的估計量，若，則稱為的無偏估計．定理4樣本均值是總體均值的無偏估計；樣本方差是總體方差的無偏估計．（2）有效性定義7設(shè)是的兩個無偏估計量，若，即,則稱較有效．例6設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望和方差分別為和，為
4、來自總體的容量為的樣本，問下面參數(shù)的三個無偏估計量中哪一個更有效？解容易驗證皆為的無偏估計，分別求它們的方差==，同理有，，故 ，所以最為有效．二、參數(shù)的區(qū)間估計置信區(qū)間設(shè)總體分布中含有一個未知參數(shù)，若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量及，對于給定的有，則稱區(qū)間為的置信水平為的置信區(qū)間，稱和為的置信限（分別稱，為置信下限及置信上限），稱為置信水平（或置信度）．1.單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體，為來自的一個樣本．（1）的區(qū)間估計1）當(dāng)已知時，求的置信水平為的置信區(qū)間由，所以，而統(tǒng)計量由標準正態(tài)分布的特點（如圖5.2.1），對于給定的，查附表得，使即由不
5、等式轉(zhuǎn)化為等價形式 ，可得的置信區(qū)間．圖5.2.1例7從長期生產(chǎn)實踐中知道，某廠生產(chǎn)的滾珠，其直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，測得直徑為14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1（單位：mm），試求滾珠的平均直徑的置信水平為95%的置信區(qū)間．解，因為，所以，則，，即滾珠平均直徑的置信水平為95%的置信區(qū)間為．也就是說，滾珠直徑的均值落在mm與mm之間的機會約為95%．2）當(dāng)未知時，求的置信水平為的置信區(qū)間因為未知，可用的估計量來代替，而用隨機變量來代替1）中的統(tǒng)計量，這時不再服從，但是當(dāng)時，可以證明的概率密度為．由
6、分布的特點（如圖5.2.2）．其中可查分布表得到．．于是的置信區(qū)間為．圖5.2.2例8今從某機器所生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取9件產(chǎn)品，分別秤得重量為（單位：公斤）：52.150.551.249.749.550.558.750.548.3試求產(chǎn)品平均重量的95%的置信區(qū)間．解因為未知，所以不能用統(tǒng)計量，而應(yīng)用統(tǒng)計量，由于，，又由，及自由度，查分布表得因此，即 表示產(chǎn)品平均重量在公斤與公斤之間的機會約為95%．（2）方差的區(qū)間估計設(shè)，當(dāng)未知時，求的置信區(qū)間，用的無偏估計量求置信區(qū)間，可以證明隨機變量的概率密度為且．對給定的，由分布的上側(cè)分位數(shù)（如圖5.
7、2.3）的定義，得即 ，從而得方差的置信區(qū)間為，（5.2.1）其中，可查分布表．圖5.2.3因為，故（5.2.1）式可寫作（5.2.2）（3）標準差的區(qū)間估計由（5.2.1）式，可得標準差的置信區(qū)間為由（5.2.2）式，又可得標準差的置信區(qū)間為例10對上例求產(chǎn)品重量的均方差的95%的置信區(qū)間．解因為，查分布表得，于是 ，，所以產(chǎn)品重量的均方差的95%的置信區(qū)間為．2．兩個正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計設(shè)總體，，與分別為來自總體與的兩個獨立樣本．（1）兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計1）總體方差，已知設(shè)，分別為兩個樣本的均值，因為，分別為的點估計，
8、故取為的點估計，且由此可知，所以對于給定的置信度，有即由此得到的置信度為的置信區(qū)間為（5.2.3）2）總體方差，未知① 當(dāng)
