《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》概率論ppt課件.ppt

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1、§2.3連續(xù)型隨機變量及其分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.2.3.1定義與基本概念則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度.連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義有,使得對任意實數(shù),對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),如果存在非負可積函數(shù)f(x),連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在上連續(xù)概率密度的性質(zhì)1o2o面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個f(x)是否為某隨

2、機變量X的概率密度的充要條件利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率對于任意實數(shù)x1,x2,(x1

3、注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xoa當時(1)連續(xù)型隨機變量取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.即這是因為請注意:得到(2)對連續(xù)型隨機變量X,有由P(B)=1,不能推出B=Ω由P(A)=0,不能推出例1設(shè)隨機變量X具有概率密度1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)2.3.2幾種常見的連續(xù)型隨機變量若隨機變量X的概率密度為：記作Oab1F(x)x例2設(shè)電阻值R是一個隨機變量,均勻分

4、布在900?~1100?.求R的概率密度及R落在950?~1050?的概率.公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；2.指數(shù)分布若隨機變量X具有概率密度為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。性質(zhì)：（１）f(x)≥0；（２）（３）Ｘ的分布函數(shù)為f(x)的圖形:Oxf(x)123123q=1/3q=1q=24.如X服從指數(shù)分布,則任給x0,△x>0,有P{X>x0+△x

5、X>x0}=P{X>△x}該性質(zhì)稱為無記憶性.指數(shù)分布在可靠性理論和排隊論中有廣泛

6、的運用.例3：某元件壽命（小時）服從的指數(shù)分布，某報警系統(tǒng)內(nèi)裝有４個這樣的元件，已知，他們獨立工作，且若要系統(tǒng)正常工作，至少需要不少于３個元件正常工作，求該系統(tǒng)能正常工作1000小時的概率。3.正態(tài)分布(NormalDistribution)若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；這表明對于同樣長度的區(qū)間,當區(qū)間離μ越遠,X落在這個區(qū)間上的概率越小.曲線關(guān)于軸對稱；(6)在x=m?s處曲線有拐點.曲線以O(shè)x軸為漸近線.f(x)以x軸為漸近線當x→∞時，f(

7、x)→0.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的概率密度曲線圖形特點設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。一種最重要的正態(tài)分布標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作　　　　其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：性質(zhì):（３）　　　　　　　，因此，　　為偶函數(shù)，圖形關(guān)于ｙ軸對稱,x軸為曲線的水平漸近線；當x＝0時，有最大值當　　　　時，曲線上對應(yīng)拐點；標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.引理通常，若某個數(shù)量指標X是很多隨

8、機因素的和，而每個因素所起的作用均勻微小，則X為服從正態(tài)分布的隨機變量。如：大量生產(chǎn)某產(chǎn)品，當設(shè)備、技術(shù)、原料、操作等可控制生產(chǎn)條件都相對穩(wěn)定且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標近似服從正態(tài)分布；注意：正態(tài)分布也是許多概率分布的極限分布。如X~B(n,p)，n充分大，p不是很小時，X近似服從N(np,npq),則書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表當x<0時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)則例4設(shè)X~N(0,1),求P{1

9、),求P{2