《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》.ppt

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1、第5章數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步5.2統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷包括：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)．5.2.1參數(shù)估計(jì)總體的分布函數(shù)形式已知或未知，估計(jì)該總體分布的未知參數(shù)或總體的某些數(shù)字特征的問題，稱為參數(shù)估計(jì)問題．參數(shù)估計(jì)分：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)．一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1．點(diǎn)估計(jì)的概念設(shè)為總體分布中的未知參數(shù)，即待估參數(shù)，從總體中抽取一個(gè)樣本，相應(yīng)的一個(gè)樣本觀察值為．利用樣本構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，用它的觀察值來估計(jì)未知參數(shù)的方法稱為點(diǎn)估計(jì)．稱統(tǒng)計(jì)量為的估計(jì)量，稱為的估計(jì)值．在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱估計(jì)量與估計(jì)值為估計(jì)，簡記為．2．矩估計(jì)法——數(shù)字特征法矩估計(jì)法就是利用樣本矩來估計(jì)對(duì)應(yīng)的總體矩

2、．設(shè)總體的一個(gè)樣本為，總體矩為，樣本矩為則令　　　　　，為未知參數(shù)的個(gè)數(shù)．（1）一個(gè)未知參數(shù)解方程，便得到矩估計(jì)．例3設(shè)為來自總體的樣本，求的矩估計(jì)．解，令，即，解得，所以的矩估計(jì)為．．（2）兩個(gè)未知參數(shù)解方程組便可得到矩估計(jì)，其中．例4設(shè)總體的密度函數(shù)為．為來自總體的樣本，求的矩估計(jì)．解令得解得的矩估計(jì)為，的矩估計(jì)為．例5已知某批燈泡壽命，今從中抽取4只進(jìn)行壽命試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：（單位：小時(shí)）1502，1453，1367，1650，試估計(jì)參數(shù)和．解由方程組可直接得出和的矩估計(jì)．的矩估計(jì)：（1502+1453+1367+1650）=1493（小時(shí)

3、），的矩估計(jì)：=．===10551.5（小時(shí)平方）．3．點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于給定的總體未知參數(shù)，點(diǎn)估計(jì)的求法不近相同，那么就有必要給出評(píng)價(jià)同一參數(shù)不同的點(diǎn)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)．（1）無偏性估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本觀察值得到的參數(shù)估計(jì)值也是不同的，但總希望這些值能在待估計(jì)的參數(shù)真值附近擺動(dòng)，且這種擺動(dòng)盡可能地小，這就是無偏性的概念．定義6設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量，若，則稱為的無偏估計(jì)．定理4樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)；樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)．（2）有效性定義7設(shè)是的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若，即,則稱較有效．例6設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望和方差分別為和，為

4、來自總體的容量為的樣本，問下面參數(shù)的三個(gè)無偏估計(jì)量中哪一個(gè)更有效？解容易驗(yàn)證皆為的無偏估計(jì)，分別求它們的方差==，同理有，，故　　　　，所以最為有效．二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間設(shè)總體分布中含有一個(gè)未知參數(shù)，若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量及，對(duì)于給定的有，則稱區(qū)間為的置信水平為的置信區(qū)間，稱和為的置信限（分別稱，為置信下限及置信上限），稱為置信水平（或置信度）．1.單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體，為來自的一個(gè)樣本．（1）的區(qū)間估計(jì)1）當(dāng)已知時(shí)，求的置信水平為的置信區(qū)間由，所以，而統(tǒng)計(jì)量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)（如圖5.2.1），對(duì)于給定的，查附表得，使即由不

5、等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式　　，可得的置信區(qū)間．圖5.2.1例7從長期生產(chǎn)實(shí)踐中知道，某廠生產(chǎn)的滾珠，其直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測(cè)得直徑為14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1（單位：mm），試求滾珠的平均直徑的置信水平為95%的置信區(qū)間．解，因?yàn)?，所以，則，，即滾珠平均直徑的置信水平為95%的置信區(qū)間為．也就是說，滾珠直徑的均值落在mm與mm之間的機(jī)會(huì)約為95%．2）當(dāng)未知時(shí)，求的置信水平為的置信區(qū)間因?yàn)槲粗?，可用的估?jì)量來代替，而用隨機(jī)變量來代替1）中的統(tǒng)計(jì)量，這時(shí)不再服從，但是當(dāng)時(shí)，可以證明的概率密度為．由

6、分布的特點(diǎn)（如圖5.2.2）．其中可查分布表得到．．于是的置信區(qū)間為．圖5.2.2例8今從某機(jī)器所生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取9件產(chǎn)品，分別秤得重量為（單位：公斤）：52.150.551.249.749.550.558.750.548.3試求產(chǎn)品平均重量的95%的置信區(qū)間．解因?yàn)槲粗?，所以不能用統(tǒng)計(jì)量，而應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量，由于，，又由，及自由度，查分布表得因此，即　　　　表示產(chǎn)品平均重量在公斤與公斤之間的機(jī)會(huì)約為95%．（2）方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)，當(dāng)未知時(shí)，求的置信區(qū)間，用的無偏估計(jì)量求置信區(qū)間，可以證明隨機(jī)變量的概率密度為且．對(duì)給定的，由分布的上側(cè)分位數(shù)（如圖5.

7、2.3）的定義，得即　　，從而得方差的置信區(qū)間為，（5.2.1）其中，可查分布表．圖5.2.3因?yàn)?，故?.2.1）式可寫作（5.2.2）（3）標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)由（5.2.1）式，可得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為由（5.2.2）式，又可得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為例10對(duì)上例求產(chǎn)品重量的均方差的95%的置信區(qū)間．解因?yàn)?，查分布表得，于是　　，，所以產(chǎn)品重量的均方差的95%的置信區(qū)間為．2．兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體，，與分別為來自總體與的兩個(gè)獨(dú)立樣本．（1）兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)1）總體方差，已知設(shè)，分別為兩個(gè)樣本的均值，因?yàn)?，分別為的點(diǎn)估計(jì)，

8、故取為的點(diǎn)估計(jì)，且由此可知，所以對(duì)于給定的置信度，有即由此得到的置信度為的置信區(qū)間為（5.2.3）2）總體方差，未知①　當(dāng)