高考金鑰匙數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題十三 空間線面位置關(guān)系的推理與證明.pdf

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1、專題十三空間線面位置關(guān)系的推理與證明1.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.證明 (1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(

2、2)因?yàn)锳1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn),所以A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因?yàn)镃C1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.本問(wèn)題主要以解答題的形式進(jìn)行考查,重點(diǎn)是空間線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明,而且一般是這個(gè)解答題的第一問(wèn).首先要學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)幾何圖形,有一定的空間想象能力,對(duì)照著已知條件逐一判斷.其

3、次要熟悉相關(guān)的基本定理和基本性質(zhì),要善于把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行解答.高考試題一般是利用直線與平面平行或垂直的判斷定理和性質(zhì)定理,以及平面與平面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理,把空間中的線線位置關(guān)系、線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,這就要求同學(xué)們對(duì)平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理熟練掌握,并在相應(yīng)的題目中用相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確的表述.必備知識(shí)平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩平面平行問(wèn)題常??梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行,而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行,所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖.解決平行問(wèn)題時(shí)要注意

4、以下結(jié)論的應(yīng)用(1)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(2)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面.(3)一條直線與兩平行平面中的一個(gè)相交,那么它與另一個(gè)也相交.(4)平行于同一條直線的兩條直線平行.(5)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.(6)如果一條直線與兩個(gè)相交平面都平行,那么這條直線必與它們的交線平行.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似,它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖.在垂直的相關(guān)定理中,要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面,當(dāng)題目中有

5、面面垂直的條件時(shí),一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.必備方法1.證明平行、垂直問(wèn)題常常從已知聯(lián)想到有關(guān)判定定理或性質(zhì)定理,將分析法與綜合法綜合起來(lái)考慮.2.證明面面平行、垂直時(shí),常轉(zhuǎn)化為線面的平行與垂直,再轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直.3.使用化歸策略可將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.4.正向思維受阻時(shí),可考慮使用反證法.5.計(jì)算題應(yīng)在計(jì)算中融入論證,使證算合一,邏輯嚴(yán)謹(jǐn).通常計(jì)算題是經(jīng)過(guò)“作圖、證明、說(shuō)明、計(jì)算”等步驟來(lái)完成的,應(yīng)不缺不漏,清晰、嚴(yán)謹(jǐn).空間點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系此類問(wèn)題涉及的知識(shí)面較廣,綜合性較強(qiáng),??疾榭臻g線線、線面、

6、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì),考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力,難度中檔.【例1】?如圖所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形,∠BAD11=∠FAB=90°,BC綉AD,BE綉AF,G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).22(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?[審題視點(diǎn)][聽(tīng)課記錄](méi)[審題視點(diǎn)]要證明四邊形BCHG是平行四邊形,只要證明GH綉B(tài)C或GB綉HC即可;要證明C,D,E,F(xiàn)共面,可通過(guò)證明四邊形CDEF中至少有一組對(duì)邊平行或兩邊的延長(zhǎng)線相交即可.1(1)證明

7、 由題意知,F(xiàn)G=GA,F(xiàn)H=HD,所以GH綉AD.21又BC綉AD,故GH綉B(tài)C.所以四邊形BCHG是平行四邊形.2(2)解C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下:1由BE綉AF,G是FA的中點(diǎn)知,BE綉GF,所以EF綉B(tài)G.2由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.又點(diǎn)D在直線FH上,所以C、D、F、E四點(diǎn)共面.法二 由題設(shè)知FA,AB,AD兩兩互相垂直,如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線AB為x軸正方向,以射線AD為y軸正方向,以射線AF為z軸正方向,建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)證明 設(shè)AB=a,BC=b,BE=c,則

8、由題設(shè)得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).→→→→所以GH=(0,b,0),BC=(0,b,0),于是GH=BC.又點(diǎn)G不在直線BC上,所以四邊形BCHG

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