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1、第四章 不可壓縮流體的有旋流 動(dòng)和二維無旋流動(dòng)第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析第二節(jié)有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第三節(jié)無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)第四節(jié)二維平面流動(dòng)的流函數(shù)第五節(jié)基本的平面有勢(shì)流動(dòng)第六節(jié)平面勢(shì)流的疊加流動(dòng)流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的流動(dòng)，無旋流動(dòng)是指的流動(dòng)。實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成
2、的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。流體的無旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì)工程中的某些問題，在特定條件下對(duì)黏性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章
3、先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式圖4-1分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖剪切變形速率、、、、、，引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱：線變形速率、、，、、，（4-1）（4-2）于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為旋轉(zhuǎn)角速度、、，
4、（4-3）（4-4）二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特征，對(duì)式(4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化分析，僅討論在平面上流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻，流體微團(tuán)ABCD為矩形，其上各點(diǎn)的速度分量如圖4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過時(shí)間，勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。1．平移運(yùn)動(dòng)圖4-2分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖a2．線變形運(yùn)動(dòng)b圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(a)返回圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(b
5、)返回圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(c)返回圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(d)返回3．角變形運(yùn)動(dòng)c4．旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)d綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)及角變形運(yùn)動(dòng)，與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速率和剪切變形速率。第二節(jié)有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義流體的流動(dòng)是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各
6、處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為無旋流動(dòng)。這里需要說明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)，在圖4-4(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無旋流動(dòng)；在圖4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。在日常生活中也有類似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè)兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來說沒有旋轉(zhuǎn)。圖4-4流體微
7、團(tuán)運(yùn)動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)判斷流體微團(tuán)無旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足根據(jù)式（4-3），則有（4-8）二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度1．速度環(huán)量為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一——速度環(huán)量。在流場(chǎng)中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度沿該封閉曲線的線積分稱為速度沿封閉曲線k的環(huán)量，簡(jiǎn)稱速度環(huán)量，用表示，即式中——在封閉曲線上的速度矢量；——速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。（4-9）圖4-5沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向
8、有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)镵的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-5所示。當(dāng)沿順時(shí)針方向繞行時(shí)，式（4-9）應(yīng)
