切應(yīng)力公式推導(dǎo)講解學(xué)習(xí).ppt

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1、第六章彎曲應(yīng)力§6－1梁的正應(yīng)力一、純彎曲與平面假設(shè)1、純彎曲——梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上只有彎矩而無剪力(如圖5－1中的CD段)。2、橫力彎曲——梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上既有彎矩又有剪力(如圖6－1中的AC、BD段)。alABaACD(a)FF圖6－1FS圖M圖(b)(c)FFFa3、梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(mn、pq）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榛【€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍保持垂直。由梁變形的連續(xù)性可知：在梁中一定有一層上的纖維既不伸長也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。圖6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD二、正應(yīng)力公式的推導(dǎo)1、幾何

2、方面相應(yīng)的縱向線應(yīng)變?yōu)椋海?－1）弧線O1O2的長度為：(a)距中性層為y處的縱向纖維ab的伸長為：(b)圖6?3(b)中性層中性軸abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O12、物理方面將式代入，得（6－2）此式表明，梁橫截面上的正應(yīng)力與其作用點(diǎn)到中性軸的距離成正比，并且在y坐標(biāo)相同的各點(diǎn)處正應(yīng)力相等，如圖5?4所示。圖6－4梁的各縱向纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系為：(c)3、靜力學(xué)方面由圖6?4可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力dFN=σdA構(gòu)成了空間平行力系，它們向截面形心簡化的結(jié)果應(yīng)為以下三個(gè)內(nèi)力分量，，由截面法可知，上式

3、中的FN，My均等于零，而MZ就是該截面上的彎矩M，所以有(d)(e)(f)圖6－4又因?yàn)椴坏扔诹?，所以?g)即梁橫截面對中性軸（z軸）的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過橫截面的形心，于是就確定了中性軸的位置。(d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁橫截面對y、z軸的慣性積等于零，說明y、z軸應(yīng)為橫截面的主軸，又y、z軸過橫截面的形心，所以其應(yīng)為橫截面的形心主軸。(d)(e)(f)最后由式（f）可得上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。將式（6?3）代入式（6?2），可得梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式為（6－4）（6－3）即有yzOdAyzhb應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取y軸

4、向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸z的距離。三、梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式為（6－4）四、橫截面上的最大應(yīng)力yc,maxyt,maxyzbd1hOd2中性軸z為橫截面對稱軸的梁其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(如圖)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。中性軸z為橫截面的對稱軸時(shí)，橫截面上最大

5、拉、壓應(yīng)力的值為（6－5）式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。橫截面上應(yīng)力分布hbzyoyc,maxyt,maxyzbd1Od2中性軸z不是橫截面的對稱軸時(shí)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為在豎向荷載作用下，通常梁橫截面上不僅有彎矩而且有剪力，這種情況下我們稱之為橫力彎曲。而實(shí)際工程中的梁，大多發(fā)生的都是橫力彎曲。對于工程實(shí)際中常用的梁，應(yīng)用純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式來計(jì)算梁在橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力，所得的結(jié)果雖略偏低一些，但足以滿足工程中的精度要求。五、橫力彎曲解：先求出C截面上彎矩例題6?1長為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b

6、=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN，求C截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。例題6－1圖截面對中性軸的慣性矩將MC、Iz、y代入正應(yīng)力計(jì)算公式，則有K點(diǎn)的正應(yīng)力為正值，表明其應(yīng)為拉應(yīng)力。§6－2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件對梁的某一橫截面來講，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置，此時(shí)而對整個(gè)等截面梁來講，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，距中性軸最遠(yuǎn)的位置，即（6－5）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。對矩形截面對圓形截面各種型鋼的截面慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz的數(shù)值，可以在型鋼表中查得。為了保證梁能安全的工作，必須使梁橫截面上的最大正應(yīng)力

7、不超過材料的許用應(yīng)力，所以梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為（6－6）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。二、三種強(qiáng)度問題的計(jì)算根據(jù)式（6?6）可以求解與梁強(qiáng)度有關(guān)的三種問題。（2）選擇截面（3）確定許用荷載（1）強(qiáng)度校核由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應(yīng)發(fā)生在跨中截面上，其值為彎曲截面系數(shù)為由于最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有所以滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。例題6-2一矩形截面簡支木梁如圖所示，