抽象函數(shù)問(wèn)題地求解策略.doc

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1、抽象函數(shù)問(wèn)題的求解策略函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)問(wèn)題又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)通常是指沒(méi)有給出具體函數(shù)的解析式，只給出了其他一些條件（如函數(shù)的定義域、特定點(diǎn)的函數(shù)值、解析遞推式、特定的運(yùn)算性質(zhì)、部分圖象特征等）的函數(shù)。由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析式作為載體，因此理解、研究起來(lái)往往比較困難。但因?yàn)檫@類問(wèn)題對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)有著十分重要的作用，所以在近幾年成為數(shù)學(xué)命題的生長(zhǎng)點(diǎn)。對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題，一般是由所給的性質(zhì),討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及圖象的對(duì)稱性，或是求函數(shù)值、解析式等。因?yàn)閱?wèn)題本身的抽象性和性質(zhì)的隱蔽性，可以利用特殊模型法

2、、函數(shù)性質(zhì)法、特殊化方法、類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化法等從多層面、多角度去分析、研究抽象函數(shù)問(wèn)題。一、特殊模型法根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，找出一個(gè)對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)模型，再研究它的其它性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，常見抽象函數(shù)所對(duì)應(yīng)的具體特殊函數(shù)模型歸納如下：抽象函數(shù)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)特殊函數(shù)模型1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1：已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，，求在區(qū)間[－2，1]上的值域。解：設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，即，∴為增函數(shù)在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則，∴，故，為奇函數(shù)，∴　，又，∴的值

3、域?yàn)椋郏?，2］。2、二次函數(shù)型抽象函數(shù)————二次函數(shù)型抽象函數(shù)即由二次函數(shù)抽象而得到的函數(shù)若抽象函數(shù)滿足，總有，則可用二次函數(shù)為模型引出解題思路；例2：已知實(shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根,則這5個(gè)根之和=_____________【分析】：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根，可以將該函數(shù)看成是類似于二次函數(shù)為模型引出解題思路，即函數(shù)的對(duì)稱軸是，并且函數(shù)在，其余的四個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于對(duì)稱，解：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)恒滿足,方程=0有5個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以方程的五個(gè)實(shí)數(shù)根也關(guān)于直線對(duì)稱，其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，其它四個(gè)實(shí)數(shù)根位于直線兩側(cè)，關(guān)于直

4、線對(duì)稱，則這5個(gè)根之和為103、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝例3：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)。其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)證明f(x)是周期函數(shù)；(Ⅲ)記，求．(Ⅰ)解：可以考慮指數(shù)函數(shù)的模型指導(dǎo)解題的思路，例如運(yùn)用函數(shù)由知：≥0，x∈[0，1]∵，f(1)＝a＞0，∴∵，∴(Ⅱ)證明：依題設(shè)y＝f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x

5、)，x∈R又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，x∈R將上式中－x以x代換，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]∴∵f(x)的一個(gè)周期是2，∴，因此∴．例4．定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有，且當(dāng)時(shí)，．（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確定的取值圍．（4）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù)．解：（1）在中，令．得：．因?yàn)?，所以，．?）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，只需考慮

6、的正負(fù)即可．在中，令，，則得．∵時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，．又，所以，綜上，可知，對(duì)于任意，均有．∴．∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子．，即．由，所以，直線與圓面無(wú)公共點(diǎn)．所以，．解得：．（4）如．點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，將一般問(wèn)題特殊化，也即選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問(wèn)題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個(gè)適合題目條件的函數(shù)4、對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）例5：已知函數(shù)滿足定義域在上的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有

7、，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，（1）設(shè)，求證；（2）設(shè)，若，試比較與的大?。唬?）解關(guān)于的不等式分析：本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)，可以參考對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)解題證明：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，即∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，∴當(dāng)時(shí)，，∴，（3）令代入得，，∴關(guān)于的不等式為，由（2）可知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，∴，由得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；當(dāng)，，此時(shí)成立。例6：已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)?、滿足，,且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)的取值圍是__________?！　　　　　　　》治觯簶?gòu)造特殊函數(shù)，顯然滿足，且時(shí)，；解：令，因當(dāng)時(shí)，，故，由指數(shù)函數(shù)圖像得，當(dāng)時(shí)有。【評(píng)注】借助特殊函