排列組合-拔高難度-講義.docx

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1、排列組合知識講解一、排列1.排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）2.排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．3.排列數(shù)公式：，，并且．4.全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列．5.的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：．二、組合1.組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合．2.組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所

2、有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．3.組合數(shù)公式：，，并且．組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①；②．（規(guī)定）三、排列組合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2.分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3.排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．4.捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一

3、捆元素”內(nèi)部排列．5.插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．6.插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．7.分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8.錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法

4、轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題．四、實際問題的解題策略1.排列與組合應(yīng)用題三種解決途徑：①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．注意：求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答．2.具體的解題策略有：①對特殊元素進行優(yōu)先安排；②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要

5、驗證是否不重不漏；③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面．⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型．典型例題一．選擇題（共2小題）1．（2018?合肥三模）如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（　?。〢．24B．48C．96D．120【解答】解：第一類：若A，D相同，先涂E有4種涂法，再

6、涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有一種涂法，共有4×3×2=24種，第二類，若A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有1種涂法，當B和D不同時，B，C只有一種涂法，共有4×3×2×（1+1）=48種，根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有24+48=72種，故選：C．　2．（2018?大荔縣模擬）如圖所示的五個區(qū)域中，要求在每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)為（　　）A．64B．72C．84D．96【解答】解：分兩種情況：（1）A、C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，

7、B、D有1種，有4×3×2=24種；（2）A、C同色，先涂A有4種，E有3種，E有2種，B、D各有2種，有4×3×2×2=48種．共有72種，故選：B．　二．解答題（共16小題）3．（2018春?金鳳區(qū)校級期末）有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：（1）有女生但人數(shù)必須少于男生；（2）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表；（用數(shù)字回答）【解答】解：（1）先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53，再把從中選出5人擔任5門不同學科的科代表有A