空間解析幾何ppt課件.ppt

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1、大學數(shù)學微積分第1章空間解析幾何1.1向量及其線性運算1.1.1向量概念向量:既有大小,又有方向的量,稱為向量.(或矢量)2.向量的幾何表示法:用一條有方向的線段來表示向量.以線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.記為模為1的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量，它的方向可以看作是任意的.特別3.自由向量自由向量:只有大小、方向,而無特定起點的向量.具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).大小相等且方向相同,向量的平行：如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行。向量的相等：1.1.2向量的線性運算1.向量加法(1)平行四邊形法

2、則設有(若起點不重合,可平移至重合).作以為鄰邊的平行四邊形,對角線向量,稱為的和,記作(2)三角形法則將之一平行移動,使的起點與的終點重合,則由的起點到的終點所引的向量為向量加法的運算規(guī)律.(1)交換律:(2)結合律:例如:2.向量減法.(1)負向量:與模相同而方向相反的向量,稱為的負向量.記作(2)向量減法.規(guī)定:（a）平行四邊形法則.將之一平移,使起點重合,作以為鄰邊的平行四邊形,對角線向量,為（b）三角形法則.將之一平移,使起點重合,由的終點向的終點作一向量,即為3.數(shù)與向量的乘法定義:實數(shù)?與向量的為一個向量.其中:當?>0時,當?<0時,當?=0時,數(shù)與向量的乘積的運算規(guī)律

3、:(1)結合律:(2)分配律:(?<0)(?>0)結論:設表示與非零向量同向的單位向量.則或定理1.1:兩個非零向量平行存在唯一實數(shù)?，使得例1.1:在平行四邊形ABCD中,設AB=,AD=試用表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四邊形對角線的交點.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=?MDMA=?MCDABCM1.2.1空間直角坐標系1.空間直角坐標系ozxyzxyx軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個空間直角坐標系,又稱笛卡爾(Descartes)坐標系，點O叫做坐標原點.o1.2空間直角坐標系及向量的坐標表示2.坐標面.由三條坐標軸的任

4、意兩條確定的平面,稱為坐標面,分別叫xy面.yz面、zx面,它們將空間分成八個卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII3.點在空間直角坐標系中的坐標表示.RQP(x,y,z)記:點M為M(x,y,z)OxyzMxyz(1)若點M在yz面上,則x=0;在zx面上,則y=0;在xy面上,則z=0.(2)若點M在x軸上,則y=z=0在y軸上,則x=z=0在z軸上,則x=y=0特別:4.空間向量的坐標表示(1).起點在原點的向量OM設點M(x,y,z)以i,j,k分別表示沿x,y,z軸正向的單位向量,稱為基本單位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx

5、,y,z,分別是OM在三坐標軸上的投影,稱為OM的坐標.zijkMoxyCABzyxN簡記為OM=(x,y,z)稱為向量OM的坐標表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：從而：(2.1)(2).起點不在原點O的任一向量a=M1M2設點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)k即a=(x2?x1,y2?y1,z2?z1)為向量a的坐標表示式記ax=x2?x1,ay=y2?y1,az=z2?z1分別為向量a在三個坐標軸上的投影,稱為a的坐標.

6、zxyM1M2aoa=M1M2=(x2?x1,y2?y1,z2?z1)(2.2)兩點間距離公式：(2.3)由此得1.2.2利用坐標作向量的線性運算設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且?為常數(shù)?a?b=(ax?bx,ay?by,az?bz)??a=(?ax,?ay,?az)證明:?a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(axi+bxi)+(ayj+byj)+(azk+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k?a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)兩向量平行的充要條件.設非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx

7、,by,bz),即ax=?bx,ay=?by,az=?bz,于是注:在(*)式中,規(guī)定若某個分母為零相應的分子也為零.a//b(*)a//ba=?b則(?為常數(shù))例如：(4,0,6)//(2,0,3)例1.4已知兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實數(shù)λ≠-1,在直線AB上求點M,使因此從而以的坐標(即點A點B的坐標)代入,即得MAzxoyB解例1.5:在z軸上求與兩點A(?4,1,7)和B(3,5,?2)等距離的點.解:設該