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1、第七章向量代數(shù)與空間解析幾何如同平面解析幾何那樣，空間解析幾何是通過建立空間直角坐標，把空間的點與三元有序數(shù)組對應(yīng)起來，用三元方程及方程組來表示空間幾何圖形，從而可以用代數(shù)的方法來研究空間幾何問題，而這又是學習微積分的基礎(chǔ)。§1向量及其線性運算一.向量的概念1.數(shù)量與向量：僅有數(shù)值大小的物理量稱數(shù)量或標量，如溫度、時間等。不僅有大小，還有方向的量稱向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：一般用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的記法：①用粗體字母，如a、I；或上面加箭頭的字母
2、，如4.向量的模：即向量的大小，②用順序?qū)懗鍪键c和終點的記法，如特殊情形：單位向量：模等于1；零向量：模等于0，記為0，其方向可以是任意的；負向量：與a大小相等方向相反的向量，記為-a.的模記為而其屬性不變，本章中只研究自由向量。5.自由向量：與始點位置無關(guān)的向量，可以對其進行平移1.向量的加法：（即向量的合成，可參照力的合成法則）①定義：將a、b的始點放在一起，以a、b為鄰邊作平行四邊形，則從始點到對角頂點的向量稱a、b的和，記a+b（稱平行四邊形法則）。aba+b稱為平行向量，也稱為共線，易知其方向相同或相反。
3、若a與b在同一條直線上或在兩條平行直線上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向相同，記a=b.二.向量的線性運算：②平行向量的和：當a與b方向相同時，其和向量的模等于兩向量模之和，其方向與a、b方向相同；當a與b方向相反時，其和向量的模等于兩向量模之差，其方向與a、b中模較大的向量的方向相同；⑤運算律：1）交換律：a+b=b+a2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c)④三角形法則：向量的加法還可以使用三角形法則，如圖：③特殊情況：a+0=a；a+（-a）=0.aba+b2.向量的減法：兩向量a與b的差a-b
4、規(guī)定為a+（-b），可使用三角形法則求出，如圖：aba-b2.向量在軸上的投影：①點在軸上的投影：過A作軸u的垂直平面?，則?與u的交點A’稱為A在軸u上的投影.如圖：AA’②向量在軸上的投影：設(shè)A點的坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），則x2-x1稱為向量在x軸的投影，記作同樣令分別為x軸上的單位向量，則有或?qū)⑼队埃謩e叫做向量的坐標再設(shè)C點的坐標，則不難證明即和的投影等于投影的和一般地有：個向量之和在軸上的投影等于各個向量在軸上投影之和注：①相等向量在同一軸上的投影相等。②易知，當向量與軸成銳角時投
5、影為正；成鈍角時投影為負；成直角時投影為0.BAA’uB’B”u’?3.關(guān)于向量投影的定理：定理1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦。其中?=即?任何一個向量可在坐標軸上的分解，即分別稱為在軸，軸上的向量稱為投影，或坐標，或數(shù)量若已知向量的坐標,則向量的大小和方向就被確定由可得稱為的方向余弦定理：數(shù)與向量的乘積在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘積總之，我們將數(shù)量和向量這一對矛盾統(tǒng)一在之中§2空間直角坐標系與向量的坐標一.空間直角坐標系：1.定義：由過同一原點O作三條相互垂直的數(shù)軸（分別稱o
6、x軸、oy軸、oz軸，又稱橫軸、縱軸、豎軸，按右手法則排列）所組成的坐標系稱為空間直角坐標系，記為Oxyz。其中以三坐標軸正向確定的稱第Ⅰ卦限，按逆時針方向依次稱第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ卦限下面稱第Ⅴ卦限，再按逆時針方向依次稱第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。3.點的坐標：設(shè)有空間中點M，過M作三個平面分別垂直于Ox、Oy、Oz軸，并分別交三軸于點P、Q、R，設(shè)這三點在三軸上的坐標分別為x、y、z，則稱M點的在該空間坐標系中的坐標為（x,y,z)，并記M點為M(x,y,z).如圖：2.有關(guān)概念：在上面定義中的點O稱為坐標原點；Ox軸
7、、Oy軸、Oz軸稱坐標軸；由每兩條坐標軸所確定的平面稱為坐標平面，其中由Ox軸和Oy軸所確定的平面稱為xOy面，依次類推；三個坐標平面把整個空間分為八個部分，每個部分稱為一個卦限，OQPzyxMR坐標平面：xOy面上為（x,y,0)，yOz面上為（0,y,z)，zOx上為（x,0,z)；坐標卦限：在第Ⅰ―Ⅷ卦限中的點的坐標的符號依次為(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分別稱M點的橫坐標、縱坐標和豎坐標。4.坐
8、標特征：點的坐標有以下特征：坐標原點：（0,0,0）；坐標軸：x軸上為（x,0,0)，y軸上為（0,y,0)，z軸上為（0,0,z)；也可記為二.向量的坐標：1.基本單位向量：此向量的坐標為為點M的向徑，稱向量設(shè)有空間中點M（x,y,z)，2.點M的向徑的坐標：分別記為i、j、k.正向相同的三個單位向量與x軸、y軸、z軸5.向量線性運算的坐標（代數(shù)）表示：設(shè)
