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1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望解例1設(shè)(X,Y)的分布律為求一、離散型隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則例2設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布，其中G為xoy平面內(nèi)由x軸、y軸及圍城的三角區(qū)域.求E(X)，E(Y).解二、連續(xù)型隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望該公式的重要性在于，當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了.這給求
2、隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2設(shè)g(X,Y)是隨機(jī)變量X、Y的函數(shù)，且E[g(X,Y)]存在(2)如果X、Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則(1)如果X、Y是離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布為pij,i,j=1,2,…，則三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解例3設(shè)(X,Y)的分布律為求三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例11解三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望方差的定義四、隨機(jī)向量的方差二維隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法與一維類似，但
3、需要先根據(jù)聯(lián)合分布計(jì)算邊緣分布，再根據(jù)具體公式求解方差。四、隨機(jī)向量的方差四、隨機(jī)向量的方差五、協(xié)方差1.定義任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),定義為2.性質(zhì)(1)Cov(X,C)=0,C為常數(shù)(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}五、協(xié)方差(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)(7)D(X±Y)=D
4、(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可見，若X與Y獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即五、協(xié)方差五、協(xié)方差例1已知離散型隨機(jī)變量(X,
5、Y)的概率分布如下：求解易求得X，Y的概率分布分別為從而五、協(xié)方差例1已知離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布如下：求于是解例2設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為求Cov(X,Y).五、協(xié)方差解例2設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為求Cov(X,Y).五、協(xié)方差解例3設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為求Cov(X,Y)，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立.五、協(xié)方差解同理，X與Y不相互獨(dú)立五、協(xié)方差由此可知，X與Y相互獨(dú)立Cov(X,Y)=0反之不一定成立協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X
6、和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù).五、協(xié)方差為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).定義設(shè)D(X)>0，D(Y)>0，稱在不致引起混淆時(shí)，記為.六、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實(shí)數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y)令，則上式為D(Y-bX)=由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以
7、
8、≤1二、相關(guān)系數(shù)存在常數(shù)a,b
9、(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).二、相關(guān)系數(shù)注：相關(guān)系數(shù)刻畫了X與Y的“線性相關(guān)”程度.的值越接近1，Y與X的線性相關(guān)程度越高；的值越接近0，Y與X的線性相關(guān)程度越弱.時(shí)，Y可完全由X的線性函數(shù)給出；時(shí)，Y與X之間不是線性關(guān)系.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0.故請看下例.二、相關(guān)系數(shù)3.X和Y獨(dú)立時(shí)，=0，即X與Y不相關(guān).注：時(shí)，只說明Y與X之間沒有線性關(guān)系，并不能說明Y與X之間沒有其他函數(shù)關(guān)系，從而不能推出Y與X相互獨(dú)立.從而即X與Y不相關(guān).即X與Y不獨(dú)立
10、.解六、相關(guān)系數(shù)但X與Y滿足例4設(shè)服從上的均勻分布，，，判斷X與Y是否相關(guān)，是否獨(dú)立？定理若隨機(jī)變量X與Y的方差都存在，且均不為零；則下列四個(gè)命題等價(jià).（1）；（2）Cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EX·EY；（4）D(X±Y)=DX+DY.六、相關(guān)系數(shù)但可以證明對下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān).但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)六、相關(guān)系數(shù)解例5設(shè)二維連
