利用軸對稱求最值

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1、利用軸對稱求最值軸對稱知識在近來的中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)，筆者瀏覽最近幾年各地的中考試題，發(fā)現(xiàn)各地中考試題除考察軸對稱圖形的基本知識和性質(zhì)，還考察了利用軸對稱知識解決最值問題，這類問題在各地中考試題中，屢見不鮮，如何利用軸對稱的性質(zhì)解決最值問題呢？根據(jù)本人多年教學(xué)工作的一些體會。概括一些常見的題型。一、基礎(chǔ)知識BA如圖直線l同側(cè)有兩點A、B，在直線l上找點P，使得PA+PB最短，并簡要說明理由。解：作點關(guān)于直線l的對稱點A′，連A′B交直線l于點P,則點P即為所求，此時PA+PB=PA′+PB=A′B。PLLLA1二、典型例題：A組（1）以菱形為

2、載體的最短距離問題：如圖所示，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PM+PB的最小值是_________。解：∵菱形ABCD是以AC為對稱軸的軸對稱圖形。∴點B關(guān)于直線AC的對稱點為點D,連接DM交AC于點P,則PM+PB的最小值即為線段DM,此時DM=∴PM+PM的最小值為.DCPMBA（2）以矩形為載體求最短距離問題在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E為為邊CD中點。P為邊BC上的任一點，求PA+EP的最小值。解：作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連A′E交BC于點P,則點P為所求，此時

3、PA+PE的最小值即為A′E,過點E，作EF⊥AB，A′E==5∴PA+PE的最小值為5。DAEFBPCA1（3）以正方形為載體的最短距離問題：如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上找一點P,使PD+PE最小，則這個最小值為_________.解：∵正方形ABCD是以AC為對稱軸的軸對稱圖形?！帱cB關(guān)于點D關(guān)于AC對稱∵BE即為PD+PE的最小值∴PD+PE的最小值為2DAPEBC(4)以圓形為載體的最短距離問題：如圖，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠ABC=60°

4、，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值。解：延長AO交⊙O于點A1，則點A關(guān)于直線OA的對稱點為A1，連A1C交OB于點P，則PA+PC的最小值為A1C，連AC，RT△AA1C中，COS300=A1C=4=，PA+PC的最小值是BCAPOA1