7.5 可降階的高階微分方程.pptx

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第五節(jié)可降階的高階微分方程 本節(jié)介紹幾種特殊的高階方程,它們的共同特點是經(jīng)過適當?shù)淖兞看鷵Q可將其化成較低階的方程來求解。前面介紹了四種標準類型的一階方程及其求解方法,但是能用初等解法求解的方程為數(shù)相當有限,特別是高階方程,除去一些特殊情況可用降階法求解,一般都沒有初等解法, 以二階方程為例展開討論重點討論能將二階導數(shù)解出的情況如果我們設法作變量代換把它從二階降至一階,就有可能應用前節(jié)中所介紹的方法來求解 一、型特點:右端不含僅是x的函數(shù)解法:將作為新的未知函數(shù)降階令有變量可分離的一階方程積分即再積分 對n階方程同理令積分得如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個任意常數(shù)的通解 一般情況特點:解法:z的(n-k)階方程可得通解. 例1解 例2解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為 練習解方程解令 二、型特點:右端不含y解法:降階令代入原方程得若已求得其通解為回代得變量可分離的一階方程積分得 解方程解即例3 例4解方程解令分離變量得即由由故 三、型特點:右端不含x降階解法:令由復合函數(shù)求導法則得代入原方程得這是一個關于y,p的一階方程 若已求得它的通解為變量可分離的一階方程積分得即得原方程的通解一般情況特點:解法: 求得其解為原方程通解為 例5解代入原方程得原方程通解為 例6.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得 例7解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中 思考與練習 作業(yè)P329:1(3)(5),2(6). 為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x軸圍成的三角形面綜合題.二階可導,且上任一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為?,滿足的方程.積記為 再利用y(0)=1得利用得兩邊對x求導,得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為

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