湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性練習(xí)卷（三）數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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湖南省衡陽市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性練習(xí)卷（三）數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合B，進(jìn)行交集運(yùn)算.【詳解】且.故.故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】由題意得，所以，因?yàn)?，所以，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知與為兩個不共線的單位向量，則（）第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A.B.C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量數(shù)量積的定義，向量垂直，向量的模以及向量夾角公式判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：若，則，即，與與為兩個不共線的單位向量矛盾，故選項(xiàng)A說法錯誤；選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，則，，所以，故選項(xiàng)B說法錯誤；選項(xiàng)C：若，則，所以，，即，所以，又，所以，故選項(xiàng)C說法錯誤；選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，所以，化簡得，設(shè)與的夾角為，則，，所以，所以，即，所以，故選項(xiàng)D說法正確；故選：D4.已知直線與拋物線：的圖象相切，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用相切有求得，從而得解.第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】依題意，聯(lián)立，消去，得，則，因?yàn)?，所以，故拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.5.若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及基本不等式判斷各式的大小關(guān)系.【詳解】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D6.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進(jìn)而可得的值．【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以，?3頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．7.已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.【詳解】因?yàn)?，令，可得，則；令，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，可得，則，當(dāng)時，，此時不可能是奇函數(shù)，由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；故選：B.第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 8.已知函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，且，則圖象的一條對稱軸是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)情況，求出的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對稱軸即可得解.【詳解】由函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，得，解得，則，又，而，當(dāng)時，，，由，得，當(dāng)時，，即函數(shù)在有3個零點(diǎn)，不符合題意，因此是函數(shù)圖象的一條對稱軸，即，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，均不符合題意；當(dāng)時，，得，則圖象的對稱軸為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及三角函數(shù)在指定區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍，利用五點(diǎn)法作圖思想分析周期情況是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分，在每個給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的是（）A.已知，若，則B.若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)C.數(shù)據(jù)的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)D.數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47【答案】ABD第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】對于A：利用正態(tài)分布的對稱性判斷；對于B：根據(jù)相關(guān)的概念判斷；對于C：舉反例說明；對于D：直接求75百分位數(shù).【詳解】對于A：已知，若，則，A正確；對于B：若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)系，則決定系數(shù)，B正確；對于C：不妨設(shè)，則，解得，此時，故找到一組數(shù)，數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，C錯誤；對于D：，故這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（）A.一定為周期函數(shù)B.若，則在上總有零點(diǎn)C.可能為偶函數(shù)D.在區(qū)間上的圖象過3個定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對于A：計(jì)算，化簡即可；對于B：求出，然后計(jì)算的正負(fù)即可；對于C：計(jì)算是否恒相等即可；對于D：令，求解即可.第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，則，，因?yàn)椋?，同號，所以，由零點(diǎn)存在定理知在上總有零點(diǎn)，故B正確；對于C，，，由得對恒成立，則與題意不符，故C錯誤；對于D，令，則，即，，故所有定點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，又因?yàn)椋院瘮?shù)過定點(diǎn)，，，故D正確；故選：ABD．11.對于棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），下列說法正確的是（）A.底面半徑為，高為的圓錐形罩子（無底面）能夠罩住水平放置的該正方體B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 C.該正方體內(nèi)能同時整體放入兩個底面半徑為，高為圓錐D.該正方體內(nèi)能整體放入一個體積為的圓錐【答案】BCD【解析】【分析】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，求出底面圓的最小半徑即可判斷；對于B，原問題等價于求與平面所成角的正切值，利用等體積法求高，結(jié)合勾股定理、正切定義即可驗(yàn)算；對于C，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，求出圓錐的最大高度即可判斷；對于D，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時，圓錐的體積大于，由此即可判斷.【詳解】對于A，若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體，考慮圓錐的軸截面，如圖，，因?yàn)?，所以，所以，圓錐底面圓半徑最小為，A錯誤；對于B，如圖，以，，三條棱作為圓錐母線，底面所在平面為平面，等價于求與平面所成角的正切值，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，則此圓錐的母線與底面所成角的正切值為，B正確；第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于C，如圖，以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，分別以，的中點(diǎn)，為兩個圓錐的頂點(diǎn)，每個圓錐高的最大值為，C正確；對于D，如圖，的中點(diǎn)作垂線，分別交，于點(diǎn)，，則，以正方體的體對角線作為圓錐的軸，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑時，該圓錐的體積為，D正確．事實(shí)上，以正方體的體對角線作為軸，為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值，顯然底面圓心在線段上（不含點(diǎn)），設(shè)，第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當(dāng)與為的四等分點(diǎn)）重合時，，因此，因?yàn)椋?，則，圓錐體積，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，體積的最大值為,D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心，半徑為0.5，算出圓錐的最大高度，由此即可順利得解.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】48【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式定理分析求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：48.13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，過點(diǎn)F且平行于OA的直線交另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率為____________.【答案】第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】設(shè)雙曲線半焦距為，雙曲線的漸近線方程為，則，設(shè)直線的方程為，然后直線的方程和另一漸近線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)，從而可求出直線的斜率，再由，可得兩直線的斜率乘積為，從而得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率【詳解】解：設(shè)雙曲線半焦距為，雙曲線的漸近線方程為，則，設(shè)直線的方程為，由，得，所以，所以直線的斜率為，因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線離心率為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查求雙曲線的離心率的方法，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題14.若函數(shù)（）有2個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】化簡函數(shù)，得到和在上單增，結(jié)合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，結(jié)合，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，設(shè)，可得，單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的，使，即，令，即，設(shè)，可得，則在上單增，又由且時，，所以當(dāng)時，存在唯一的，使，即，若時，可得，則，可得，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ③，構(gòu)造函數(shù)或.四、解答題:本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱形木料中，為上底面上一點(diǎn)．（1）經(jīng)過點(diǎn)在上底面上畫一條直線與垂直，應(yīng)該如何畫線，請說明理由；（2）若，，，為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）答案見解析（2）．【解析】【分析】（1）連結(jié)BD，在平面ABC上作,由為直三棱柱，證明平面，進(jìn)而得到；（2）分別以所在直線為軸建立空向直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量，求出到平面的距離.【小問1詳解】連結(jié)，在平面上作，因?yàn)闉橹比庵云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．【小?詳解】第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)?，所以，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空向直角坐標(biāo)系，，，，，則，，．設(shè)平面的一個法向量為，因?yàn)?，，所以，，則，取，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因此點(diǎn)到平面的距離為．16.聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻(xiàn)，促進(jìn)聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位留學(xué)生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機(jī)選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品．②對抗賽規(guī)則：兩位留學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，累計(jì)得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．（1）留學(xué)生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，留學(xué)生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學(xué)生甲答對了所選試題的概率．（2）第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 留學(xué)生乙和留學(xué)生內(nèi)參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對的概率分別為，，求留學(xué)生乙獲得獎品的概率．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求得相應(yīng)的概率，結(jié)合互斥事件的概率加法，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)留學(xué)生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，則，，，，所以.【小問2詳解】解：每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎品的概率為．第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 17.在中，，，分別是角，，所對的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長度關(guān)系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求.【小問1詳解】如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因?yàn)椋?，則①，由，則，因?yàn)?，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．【小問2詳解】因?yàn)椋?，，?3頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，由余弦定理知同理在中，，因?yàn)?，所以，則，由（1）知，，所以，中，由余弦定理知，所以．18.已知數(shù)列滿足，，且．（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時，．【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）先把數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再用分組求和的方法求滿足的關(guān)系，并證明.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，?易知，所以，因?yàn)椋缘缺葦?shù)列，首項(xiàng)，公比，所以．【小問2詳解】由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時，，所以，所以，再證明右邊：，因?yàn)?，所以，?3頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即，下面證明，即證，即證，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列不等式證明方法主要有：（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.（2）放縮比較法：對表達(dá)式適當(dāng)放縮，證出不等式.19.已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．（1）（ⅰ）直接寫出函數(shù)的圖象的實(shí)軸長；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．（2）已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（?。?；（ⅱ）．（2）存在，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，．【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；方法二：設(shè)，，，，，利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過定點(diǎn)，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過定點(diǎn)，即可求得答案..【小問1詳解】（?。┯深}意可知雙曲線的實(shí)軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點(diǎn)為，故實(shí)軸長為；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；【小問2詳解】方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 聯(lián)立：得，所以，，①，因?yàn)椋?，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點(diǎn)A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn),所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，解得,綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，，，則，依題意，直線不過點(diǎn)A，可設(shè)：，曲線的方程改寫為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無解；故，兩邊同時除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時圓的半徑為．第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點(diǎn)是求解最值問題，解答時要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡，難點(diǎn)就在于化簡的過程十分復(fù)雜，計(jì)算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.第23頁/共23頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司