2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

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1、2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1．設(shè)非零實數(shù)，，滿足則的值為（）．（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故．于是，所以．2．已知，，是實常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個非零實根，，則下列關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個實根的是（）．（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，則．因為，，且，所以，且，，于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個實根的一元二次方程是，即．（第3題）3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度

2、都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3題答題）因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)．由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是有理數(shù)．（第4題）4．如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因為DCFE是平行四邊形，所以DE//C

3、F，且EF//DC．（第4題答題）連接CE，因為DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積．連接AF，因為EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因為，所以S△ABC=4S△ACF．故陰影部分的面積為6．5．對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：，且，則的值為（）．（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】設(shè)，則，于是．二、填空題6．設(shè)，b是的小數(shù)部分，則的值為．【答案】【解答】由于，故，因此．（第7題）7．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與C

4、E交于點F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．【答案】【解答】如圖，連接AF，則有：（第7題答題），，解得，．所以，四邊形AEFD的面積是．8．已知正整數(shù)a，b，c滿足，，則的最大值為．【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3．若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，．（i）若，則，從而可得；（ii）若，則，從而可得．綜上知的最大值為．9．實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為．

5、【答案】，（為任意實數(shù)）【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知．若，則，，進(jìn)而．若，則，有（為任意實數(shù)）．經(jīng)檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件．10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)．又，所以，故y的最小值為207，此時．三、解答題（第11題）11．如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB＝

6、OC＝3OA．直線與軸交于點D．求∠DBC-∠CBE．【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)．直線過點B．（第11題答題）將點C(0，)的坐標(biāo)代入，得．…………5分拋物線的頂點為(1，)．于是由勾股定理得BC＝，CE＝，BE＝．因為BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，．…………10分因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝．…………15分所以，．…………20分12．設(shè)△的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的△，求所有可能的度數(shù)．【解答】分三種情況討論．（i）若△為銳角三角形．因為，所

7、以由，可得，于是．…………5分（第12題答題（ii））（第12題答題（i））（ii）若△為鈍角三角形．當(dāng)時，因為，所以由，可得，于是。…………10分當(dāng)時，不妨假設(shè)，因為，所以由，可得，于是．…………15分（iii）若△為直角三角形．當(dāng)時，因為為邊的中點，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角．綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及．…………20分13．設(shè)，，是素數(shù)，記，當(dāng)時，，，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．【解答】不能．依題意，得．因為，所以．又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，．

8、…………10分當(dāng)時，．進(jìn)而，，，與，是素數(shù)矛盾；…………15分當(dāng)時，，所以，，不能構(gòu)成三角形的三邊長．…………20分14．如果將正整數(shù)M