2007年全國初中數學競賽試題參考答案

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1、賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saicai.com/bbs以賽識才、以賽育才!中國教育學會中學數學教學專業(yè)委員會“《數學周報》杯”2007年全國初中數學競賽試題參考答案一、選擇題(共5小題,每小題6分,滿分30分.以下每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項,其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填得零分)1.方程組的解的個數為().(A)1(B)2(C)3(D)4答:(A).解:若≥0,則于是,顯然不可能.若,則于是,解得,進而求得.所以,原方程組的解為只有1個解.故選(A).2.口袋中有20個球,其中

2、白球9個,紅球5個,黑球6個.現從中任取10個球,使得白球不少于2個但不多于8個,紅球不少于2個,黑球不多于3個,那么上述取法的種數是().(A)14(B)16(C)18(D)20答:(B).解:用枚舉法:紅球個數白球個數黑球個數種數52,3,4,53,2,1,0443,4,5,63,2,1,0434,5,6,73,2,1,0425,6,7,83,2,1,04所以,共16種.故選(B).3.已知△為銳角三角形,⊙經過點B,C,且與邊AB,AC分別相交于點D,E.若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等,則⊙一定經過△13賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saica

3、i.com/bbs以賽識才、以賽育才!的().(A)內心(B)外心(C)重心(D)垂心答:(B).解:如圖,連接BE,因為△為銳角三角形,所以,均為銳角.又因為⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等,且為兩圓的公共弦,所以.于是,.若△的外心為,則,所以,⊙一定過△的外心.故選(B).4.已知三個關于x的一元二次方程,,恰有一個公共實數根,則的值為().(A)0(B)1(C)2(D)3答:(D).解:設是它們的一個公共實數根,則,,.把上面三個式子相加,并整理得.因為,所以.于是13賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saicai.com/bbs以賽識才、以賽育才!

4、.故選(D).5.方程的整數解(x,y)的個數是().(A)0(B)1(C)3(D)無窮多答:(A).解:原方程可化為,因為三個連續(xù)整數的乘積是3的倍數,所以上式左邊是3的倍數,而右邊除以3余2,這是不可能的.所以,原方程無整數解.故選(A).二、填空題(共5小題,每小題6分,滿分30分)6.如圖,在直角三角形ABC中,,CA=4.點P是半圓弧AC的中點,連接BP,線段BP把圖形APCB分成兩部分,則這兩部分面積之差的絕對值是.答:4.解:如圖,設AC與BP相交于點D,點D關于圓心O的對稱點記為點E,線段BP把圖形APCB分成兩部分,這兩部分面積之差的絕對值是△B

5、EP的面積,即△BOP面積的兩倍.而(第6題答案圖).因此,這兩部分面積之差的絕對值是4.7.如圖,點A,C都在函數的圖象上,點B,D都在軸上,且使得△OAB,△BCD都是等邊三角形,則點D的坐標為.答:(,0).解:如圖,分別過點A,C作x軸的垂線,垂足分別為E,F.設OE=a,BF=b,則AE=,CF=,所以,點A,C的坐標為(,),(2+b,),13賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saicai.com/bbs以賽識才、以賽育才!所以解得因此,點D的坐標為(,0).8.已知點A,B的坐標分別為(1,0),(2,0).若二次函數的圖象與線段AB恰有一個

6、交點,則的取值范圍是.答:≤,或者.解:分兩種情況:(Ⅰ)因為二次函數的圖象與線段AB只有一個交點,且點A,B的坐標分別為(1,0),(2,0),所以,得.由,得,此時,,符合題意;由,得,此時,,不符合題意.(Ⅱ)令,由判別式,得.當時,,不合題意;當時,,符合題意.綜上所述,的取值范圍是≤,或者.13賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saicai.com/bbs以賽識才、以賽育才!9.如圖,,則n=.答:6.解:如圖,設AF與BG相交于點Q,則,于是(第9題答案圖).所以,n=6.10.已知對于任意正整數n,都有,則.答:.解:當≥2時,有,,兩式相減

7、,得,所以因此.三、解答題(共4題,每小題15分,滿分60分)11(A).已知點M,N的坐標分別為(0,1),(0,-1),點P是拋物線上的一個動點.(1)判斷以點P為圓心,PM為半徑的圓與直線的位置關系;13賽才網——賽馬不相馬,敢為天下先!www.saicai.com/bbs以賽識才、以賽育才?。?)設直線PM與拋物線的另一個交點為點Q,連接NP,NQ,求證:.解:(1)設點P的坐標為,則PM=;又因為點P到直線的距離為,所以,以點P為圓心,PM為半徑的圓與直線相切.…………5分(第11A題答案圖)(2)如圖,分別過點P,Q作直線的垂線,垂足分別為H,R.由(

8、1)知,P

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