2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

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1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．已知非零實數(shù)a，b滿足，則等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而＝1．2．如圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OA＝a，OB＝OC＝O

2、D＝1，則a等于（）．（第2題）（A）（B）（C）1（D）2【答】A．解：因為△BOC∽△ABC，所以，即，所以，．由，解得．3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為，第二次擲出的點數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組只有正數(shù)解的概率為（）．（A）（B）（C）（D）【答】D．解：當時，方程組無解．當時，方程組的解為由已知，得即或由，的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10種情況；或共3種情況．又擲兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6＝

3、36種情況，故所求的概率為．4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.動點P從點B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運動.設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y.把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（）．（A）10（B）16（C）18（D）32（第4題）圖2圖1【答】B．解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16.5．關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（）．（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組【答】C．

4、解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為．由于該方程有整數(shù)根，則判別式≥，且是完全平方數(shù)．由≥，解得≤．于是01491611610988534顯然，只有時，是完全平方數(shù)，符合要求．當時，原方程為，此時；當y＝－4時，原方程為，此時．所以，原方程的整數(shù)解為二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同

5、時報廢，那么這輛車將能行駛km．【答】3750．解：設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有兩式相加，得，則．7．已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則的值為．解：如圖，延長A

6、D與⊙D交于點E，連接AF，EF．由題設(shè)知，，在△FHA和△EFA中，，所以Rt△FHA∽Rt△EFA，.（第7題）而，所以.8．已知是滿足條件的五個不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為．【答】10．解：因為，且是五個不同的整數(shù)，所有也是五個不同的整數(shù)．又因為，所以．由，可得．9．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于．【答】．解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB為直

7、角三角形，且．作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以，（第9題）即，解得．所以．（第10題）10．10個人圍成一個圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來．若報出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是．【答】．解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是．于是報7的人心里想的數(shù)是，報9的人心里想的數(shù)是，報1的人心里想的數(shù)是，報3的人心里想

8、的數(shù)是．所以，解得．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知拋物線與動直線有公共點，，且.（1）求實數(shù)t的取值范圍；（2）當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程①有實數(shù)根，，則．所以=＝．②………………5分把②式代入方程①得．③………………10分t的取值應(yīng)滿足≥0，④且使方程③有實數(shù)根，即＝≥0，⑤解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.所以，t的取值范圍為≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤時