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《2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．已知非零實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由題設(shè)知a≥3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而＝1．2．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，且OA＝a，OB＝OC＝O
2、D＝1，則a等于（）．（第2題）（A）（B）（C）1（D）2【答】A．解：因?yàn)椤鰾OC∽△ABC，所以，即，所以，．由，解得．3．將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組只有正數(shù)解的概率為（）．（A）（B）（C）（D）【答】D．解：當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解．當(dāng)時(shí)，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10種情況；或共3種情況．又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6＝
3、36種情況，故所求的概率為．4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y.把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（）．（A）10（B）16（C）18（D）32（第4題）圖2圖1【答】B．解：根據(jù)圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進(jìn)而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16.5．關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（）．（A）2組（B）3組（C）4組（D）無(wú)窮多組【答】C．
4、解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為．由于該方程有整數(shù)根，則判別式≥，且是完全平方數(shù)．由≥，解得≤．于是01491611610988534顯然，只有時(shí)，是完全平方數(shù)，符合要求．當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)；當(dāng)y＝－4時(shí)，原方程為，此時(shí)．所以，原方程的整數(shù)解為二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．一個(gè)自行車(chē)輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車(chē)行駛5000km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車(chē)行駛3000km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車(chē)的一對(duì)新輪胎同
5、時(shí)報(bào)廢，那么這輛車(chē)將能行駛km．【答】3750．解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有兩式相加，得，則．7．已知線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D，使得BD＝AC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為．解：如圖，延長(zhǎng)A
6、D與⊙D交于點(diǎn)E，連接AF，EF．由題設(shè)知，，在△FHA和△EFA中，，所以Rt△FHA∽R(shí)t△EFA，.（第7題）而，所以.8．已知是滿(mǎn)足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為．【答】10．解：因?yàn)?，且是五個(gè)不同的整數(shù)，所有也是五個(gè)不同的整數(shù)．又因?yàn)椋裕?，可得?．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為的平分線(xiàn)．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長(zhǎng)等于．【答】．解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB為直
7、角三角形，且．作EF⊥BC，垂足為F．設(shè)EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以，（第9題）即，解得．所以．（第10題）10．10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)．若報(bào)出來(lái)的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是．【答】．解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是．于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是，報(bào)9的人心里想的數(shù)是，報(bào)1的人心里想的數(shù)是，報(bào)3的人心里想
8、的數(shù)是．所以，解得．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知拋物線(xiàn)與動(dòng)直線(xiàn)有公共點(diǎn)，，且.（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）聯(lián)立與，消去y得二次方程①有實(shí)數(shù)根，，則．所以=＝．②………………5分把②式代入方程①得．③………………10分t的取值應(yīng)滿(mǎn)足≥0，④且使方程③有實(shí)數(shù)根，即＝≥0，⑤解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.所以，t的取值范圍為≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤時(shí)
