正整數(shù)指數(shù)函數(shù)教案

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1、1　正整數(shù)指數(shù)函數(shù)1．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是正整數(shù)集N＋.談重點(diǎn)對(duì)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)定義的理解(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征：ax前的系數(shù)必須是1，自變量x∈N＋，且x在指數(shù)的位置上，底數(shù)a是大于零且不等于1的常數(shù)．要注意正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)與冪函數(shù)y＝xα的區(qū)別．(2)在正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義中，為什么要規(guī)定底數(shù)a是一個(gè)大于零且不等于1的常數(shù)？這是因?yàn)?，若a＝0或a＝1，則對(duì)于任意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，這時(shí)，ax是一個(gè)常量，沒有研究的必

2、要；若a＜0，則在后面的學(xué)習(xí)中，當(dāng)我們把正整數(shù)指數(shù)函數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)時(shí)，對(duì)于x的某些取值，ax無意義，從而無法擴(kuò)充．【例1】下列函數(shù)中一定是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的是(　　)．A．y＝(－4)x(x∈N＋)　　B．y＝3－x(x∈N＋)C．y＝2×3x(x∈N＋)D．y＝x3(x∈N＋)解析：根據(jù)函數(shù)的解析式判斷一個(gè)函數(shù)是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是抓住正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征．y＝(－4)x的底數(shù)－4＜0，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；y＝2×3x中3x的系數(shù)等于2，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；y＝x3中自變量x在底數(shù)的位置上，是冪函數(shù)，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；由排除法可選B.實(shí)際上，由后

3、面將要學(xué)習(xí)的指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，y＝3－x＝是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．答案：B2．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特征正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的圖像由一些孤立的點(diǎn)組成．當(dāng)a＞1時(shí)，它的圖像從左向右是上升的；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，它的圖像從左向右是下降的，整個(gè)圖像都在第一象限內(nèi)．如，函數(shù)y＝2x(x∈N＋)和y＝(x∈N＋)的圖像如下．　　y＝2x(x∈N＋)　　　y＝(x∈N＋)破疑點(diǎn)為什么正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像不是一條連續(xù)的曲線這是因?yàn)?，正整?shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N＋，而正整數(shù)集是不連續(xù)的，所以用描點(diǎn)法畫正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像時(shí)，不能用平滑的連續(xù)曲線連起來．也就是說

4、，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是由一些孤立的點(diǎn)組成，而不是一條連續(xù)的曲線．【例2】函數(shù)，x∈N＋的圖像是(　　)．A．一條上升的連續(xù)曲線B．一條下降的連續(xù)曲線C．一系列上升的孤立的點(diǎn)D．一系列下降的孤立的點(diǎn)解析：因?yàn)檎麛?shù)指數(shù)函數(shù)，x∈N＋的底數(shù)大于零且小于1，所以它的圖像從左向右是一系列下降的孤立的點(diǎn)．答案：D3．正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)有如下性質(zhì)：(1)定義域：正整數(shù)集N＋；(2)值域：從函數(shù)值域的定義來分析，函數(shù)的值域是所有函數(shù)值組成的集合，由于正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是N＋，不連續(xù)，故其值域也不連續(xù)，是由一組“孤立”的實(shí)數(shù)組成

5、的集合，其值域是{a，a2，a3，…}．(3)單調(diào)性：y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的單調(diào)性取決于底數(shù)a.當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，這里要特別注意的是，雖然正整數(shù)指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，但是不存在單調(diào)區(qū)間．(4)奇偶性：因?yàn)檎麛?shù)指數(shù)函數(shù)的圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于y軸對(duì)稱，所以其不具有奇偶性．(5)最值：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)有最小值，無最大值，最小值為a；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)有最大值，無最小值，最大值為a.解技巧正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)分別從形、數(shù)兩個(gè)方面對(duì)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)加以剖析，因此在處理與正整數(shù)指數(shù)函數(shù)有關(guān)

6、的問題時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用；由于底數(shù)大于1時(shí)與底數(shù)小于1時(shí)的單調(diào)性不同，所以也應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用．【例3－1】函數(shù)y＝5x，x∈N＋的值域是(　　)．A．RB．N＋C．ND．{5,52,53,54，…}解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝5x，x∈N＋的定義域?yàn)檎麛?shù)集N＋，所以當(dāng)自變量x取1,2,3,4，…時(shí)，其相應(yīng)的函數(shù)值y依次是5,52,53,54，….因此，函數(shù)y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．答案：D【例3－2】函數(shù)，x∈N＋是(　　)．A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．奇函數(shù)D．偶函數(shù)解析：由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)不具有奇偶性，可排除C，D；因?yàn)楹瘮?shù)，x∈N＋

7、的底數(shù)大于1，所以此函數(shù)是增函數(shù)．答案：A【例3－3】函數(shù)y＝7x，x∈N＋的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)．A．RB．N＋C．[0，＋∞)D．不存在解析：雖然正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝7x，x∈N＋在定義域N＋上單調(diào)遞增，但是N＋不是區(qū)間，所以該函數(shù)不存在單調(diào)區(qū)間．答案：D4．利用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值的大小比較冪的大小常用構(gòu)造法，若兩個(gè)冪的指數(shù)相同，則可構(gòu)造同指數(shù)的冪函數(shù)；若兩個(gè)冪的底數(shù)相同，則可構(gòu)造同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，構(gòu)造好函數(shù)模型后，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，利用自變量的大小來確定函數(shù)值的大?。纾容^下列幾個(gè)冪0.910,0.911,1.1