平面直角坐標(biāo)系學(xué)案

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1、第一章坐標(biāo)系§1平面直角坐標(biāo)系1．1　平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1．2　平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換課標(biāo)解讀1.理解平面直角坐標(biāo)系的作用．2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．3.了解平面直角坐標(biāo)系中直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等各種圖形的代數(shù)表示.1．平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一點(diǎn)，都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)與之對應(yīng)；反之，對于任意的一個有序?qū)崝?shù)對(x，y)，都有唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)．即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的．2．平面直角坐標(biāo)系與曲線方程曲線可看作是滿足某些條件的點(diǎn)的集合

2、或軌跡，由此我們可借助平面直角坐標(biāo)系，研究曲線與方程間的關(guān)系．在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲線C的方程，曲線C叫作方程f(x，y)＝0的曲線．這樣，我們就可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，應(yīng)用方程來表示許多常見的曲線，如直線的方程、圓的方程、橢圓的方程等.3．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位

3、長度，將會對圖形產(chǎn)生影響．1．△ABC的三個頂點(diǎn)是A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，則中線CO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的方程是x＝0嗎？【提示】　因?yàn)橹芯€CO是一條線段，而并非一條直線，所以其方程為x＝0(0≤y≤3)，而非x＝0.2．如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？【提示】?、偃绻麍D形有對稱中心，選對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；②如果圖形有對稱軸，選對稱軸為坐標(biāo)軸；③使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多地落在坐標(biāo)軸上；④如果是圓錐曲線，所建立的平面直角坐標(biāo)系應(yīng)使曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程．3．如果x軸的單位長度保持不變，y軸的單位長度縮小為原來的，圓x2＋y2＝4的圖

4、形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？【提示】　x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓：＋y2＝1.伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀.利用平面直角坐標(biāo)系確定位置　由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對商船進(jìn)行護(hù)航．某日，甲艦在乙艦正東6千米處，丙艦在乙艦北偏西30°，相距4千米．某時刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號．由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4s后乙、丙兩艦才同時發(fā)現(xiàn)這一信號，此信號的傳播速度為1km/s.若甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？【思路

5、探究】　本題求解的關(guān)鍵在于確定商船相對于甲艦的相對位置，因此不妨用點(diǎn)A、B、C表示甲艦、乙艦、丙艦，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出商船與甲艦的坐標(biāo)，問題可解．【自主解答】　設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船．如圖所示，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．∵

6、PB

7、＝

8、PC

9、，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上．kBC＝－，線段BC的中點(diǎn)D(－4，)，∴直線PD的方程為y－＝(x＋4)．①又

10、PB

11、－

12、PA

13、＝4，∴點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，雙曲線方程為－＝1(

14、x≥2)．②聯(lián)立①②，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5)．∴kPA＝＝.因此甲艦行進(jìn)的方位角為北偏東30°.1．由于A、B、C的相對位置一定，解決問題的關(guān)鍵是：如何建系，將幾何位置量化，根據(jù)直線與雙曲線方程求解．2．運(yùn)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的步驟：建系→設(shè)點(diǎn)→列關(guān)系式(或方程)→求解數(shù)學(xué)結(jié)果→回答實(shí)際問題．已知某荒漠上有兩個定點(diǎn)A、B，它們相距2km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長為8km.(1)問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？(2)該荒漠上有一條水溝l恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且與AB成30°的角，現(xiàn)要對整條

15、水溝進(jìn)行加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園的水溝要重新改造，所以對水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分暫不加固，問：暫不加固的部分有多長？【解】　(1)設(shè)平行四邊形的另兩個頂點(diǎn)為C、D，由圍墻總長為8km得

16、CA

17、＋

18、CB

19、＝4>

20、AB

21、＝2，由橢圓的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長2a＝4，焦距2c＝2的橢圓(去除落在直線AB上的兩點(diǎn))．以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1(y≠0)．易知點(diǎn)D也在此橢圓上，要使平行四邊形ABCD的面積最大，則C、D為此橢圓短軸的端點(diǎn)，此時，面積S＝2(km2)．

22、(2)因?yàn)樾藿ㄞr(nóng)藝園的可能范圍在橢圓＋＝1(y≠0)內(nèi)，故暫不需要加固水溝的長就是直線l：y＝(x＋1)被橢圓截得的弦長，如圖．因此，由?13x2＋8x－32＝0，那么弦長＝

23、x