曲線積分和曲面積分的計(jì)算

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1、武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案第21章曲線積分和曲面積分的計(jì)算教學(xué)目的：教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：§1第一類曲線積分的計(jì)算設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，，那么有。例：設(shè)是半圓周,。求。例：設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，計(jì)算第一類曲線積分。例：計(jì)算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點(diǎn)，，的直線段?！?第一類曲面積分的計(jì)算一曲面的面積（1）設(shè)有一曲面塊，它的方程為。具有對和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的

2、。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為,令，，，則該曲面塊的面積為。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。21-7武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案二化第一類曲面積分為二重積分（1）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令，，，則。例：計(jì)算，是球面，。例：計(jì)算，其中為螺旋面的一部分：。注：第一類曲面積分通過一個(gè)二重積分來定義，這就是為什么在第一

3、類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為?！?第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義1.力場沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。2.第二型曲線積分的定義定義1設(shè)是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點(diǎn)開始用分點(diǎn)分成個(gè)有向弧段，直至終點(diǎn)。且設(shè)。在每一弧段21-7武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案上任取一點(diǎn)，作和式：。其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。設(shè)，這里表示有向線段的長度。若當(dāng)時(shí)，和有極限，且它與的分法

4、無關(guān)，也與點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作或。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類曲線積分的一個(gè)很重要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個(gè)特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時(shí)，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個(gè)方向就算作正向，否則就算作負(fù)向。這時(shí)只要方向不變，曲線積分的值是與起點(diǎn)的位置無關(guān)的。二第二類曲線積分的計(jì)算設(shè)曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：。且設(shè)是光滑的。設(shè)當(dāng)參數(shù)從調(diào)地增加

5、到時(shí)，曲線從點(diǎn)按一定方向連續(xù)地變到點(diǎn)。設(shè)函數(shù)定義在曲線上，且設(shè)它在上連續(xù)。則。（*）注：（*）積分下限必須對應(yīng)積分所沿曲線的起點(diǎn)，上限必須對應(yīng)終點(diǎn)。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為例：計(jì)算積分,L的兩個(gè)端點(diǎn)為A(1,1),B(2,3).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合,路徑為（1）直線段AB；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例：計(jì)算積分,這里L(fēng):（1）沿拋物線從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,2)；（2）沿直線從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,2)；（3）沿折線封閉路徑

6、O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).21-7武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案例：計(jì)算第二型曲線積分I=,其中L是螺旋線，，從到的一段。三兩類曲線積分的聯(lián)系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為例：證明：對于曲線積分的估計(jì)式為。利用這個(gè)不等式估計(jì)：,并證明。例：設(shè)平面區(qū)域由一連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域面積設(shè)為，推導(dǎo)用曲線積分計(jì)算面積的公式為：?！?第二類曲面積分一曲面的側(cè)的概念1．單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)

7、曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個(gè)典型例子。2．曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向:曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè).設(shè)法向量為,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量,即選“+”號(hào)時(shí)，應(yīng)有，亦即法線方向與軸正向成銳角.類似確定其余各側(cè)的法線方向.封閉曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).二第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程表示的無重點(diǎn)的光滑曲面,并設(shè)在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設(shè)選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向。現(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設(shè)為在平面上的投影，從而也得到區(qū)域的一個(gè)

8、相應(yīng)分割。如果取的是上側(cè)，這時(shí)所有算作正的。如取下側(cè)，這時(shí)所有算作負(fù)的。設(shè)有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點(diǎn)，作和式其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號(hào)的，它們的符號(hào)是由所選的側(cè)來決定的。設(shè)為21-7武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案的致敬，記。若當(dāng)時(shí)，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關(guān)，也點(diǎn)