曲線積分和曲面積分(2)

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1、第十八章曲線積分和曲面積分§1第一類曲線積分一、定義背景：在計算曲線段上的質(zhì)量分布問題時，我們曾把曲線段上的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為如下一個有限和的極限，這個有限和的極限正是本節(jié)要介紹的第一類曲線積分，先給出數(shù)學定義。給定光滑曲線段，定義在上且連續(xù)，給定的一個分割：T：這里“”表示曲線上從A到B的順序。記（弧長），（分割細度）。定義1、設存在實數(shù)I，使對任意的，存在，使對任意分割，當時，對任意的，都成立：，稱I為在上的第一類曲線積分，記為。其中稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。注、顯然，定義表明。注、有時用l表示弧長，因而，第一類曲線積分也記為。不論如何記第一類曲線積分，必須注意到第一類曲線積分

2、是對弧長的積分。639注、其幾何意義為：時，，（的弧長）。注、第一類曲線積分滿足類似的積分性質(zhì)（略）。二、計算從定義式可知，計算的本質(zhì)問題在于對的處理，下面，就以此為出發(fā)點導出其計算公式。先給出參數(shù)方程下的計算公式。設給定曲線段：是的，即。首先由定積分理論中弧長公式可知，對應于某一參數(shù)段如的弧長可由如下定積分計算事實上，利用定積分思想，弧長公式的推導過程大致如下利用這一弧長公式可以得到第一類曲線積分的計算公式。定理1、設在上連續(xù)，則存在且。證明：對做任意分割T：對應于形成一個分割639記，則由定義，==其中，使得。利用弧長公式和中值定理，則，。故，==其中：。由三角不等式，由于

3、，因而一致連續(xù)，故，對當時，639，又，，因而有界M，故：。因而，由定積分定義，=故，。對一般的曲線方程，都可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，因此，定理1解決了第一類曲線積分的計算問題。下面給出幾個特例。注：特例：1、對平面曲線：，則；2、對平面曲線：，則從計算公式知，第一類曲線積分的計算，關(guān)鍵是給出曲線的參數(shù)方程。例1：，：解：采用極坐標形式，則，639故，。例2：其中l(wèi)由折線段OA、AB、BO組成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用積分可加性，則其中各段方程如下：，；（可視為以為參數(shù)），（以為參數(shù)）BO：，（以為參數(shù)）故,。注意各種技巧的運用，如對等性對稱性等。例3：

4、，。解：由于曲線關(guān)于對等，則，。因而，。例4：，（閉曲線上的積分）解、由于關(guān)于軸對稱，且是的奇函數(shù)，故，。639事實上，分為：，故：＝0。639§2第一類曲面積分一、定義背景：在計算曲面上質(zhì)量分布時，我們曾導出質(zhì)量分布的計算公式為有限和的極，在其它應用領域，也經(jīng)常遇到這類有限和的極限，因此，有必要在數(shù)學上建立相應的理論，這就是第一類曲面積分。給定有界光滑曲面，定義在上，給定曲面的一個分割T：，對應的每一個分割子塊的面積記為，分割細度仍記為。定義1、若存在實數(shù)I，使對任意分割T及任意選取的點，都有稱I為在上的第一類曲面積分，記為其中為被積函數(shù)，稱為積分曲面。注、類似的積分性質(zhì)（略

5、）；注、幾何意義為，時，。二、計算從第一類曲線積分的公式推導可知，第一類曲面積分公式的建立，關(guān)健仍然是微小曲面的面積639的計算。因此，我們首先處理，給出其計算公式；處理的思想為定積分中的近似方法――微元法。我們知道，是分割后的小曲面塊，當分割很細時，曲面塊可近似為平面塊，故，我們從分析平面塊面積的計算入手。那么，如何計算平面塊的面積？我們僅知道：當平面塊落在坐標平面內(nèi)時，可以利用二重積分計算其面積，此時，問題解決。而當平面塊不落在坐標平面時，我們利用投影技術(shù)轉(zhuǎn)化為坐標平面內(nèi)平面塊面積的計算。這就是我們處理第一類曲面積分的思想。1、曲面面積的計算：給定有界曲面：，設是光滑的，即

6、，求的面積。情形1、特殊情形設落在平面中，又設與坐標面面的夾角為（銳角），在面的投影區(qū)域為D，相應的面積分別記為，則，故。當選取相對應的鈍角為夾角時，有。情形2、一般情形為一般光滑曲面：，顯然：D正是在面的投影區(qū)域。為了利用情形1處理，我們利用分割、近似計算的思想。對曲面進行分割T：，分割細度為；對應于分割T，形成D的一個分割：：，分割細度記為639。當T很細時，我們希望用某種平面塊代替曲面塊。在曲面上，選擇一個什么樣的平面塊來近似代替曲面塊？我們選擇相關(guān)的切平面塊。任取，由于是光滑的，故任一點都有切平面，過作平面，在上取出一小平面塊，使與具有相同的投影，當T很細時，。下面計算

7、。由情形1，只計算與坐標面的夾角的余弦。這使我們聯(lián)想到切平面法線的方向余弦，記為的法線方向與軸正向的夾角，則。由解析幾何理論知道，若平面方程為，則在（）點的法線方向為，其中，。故,又，，因而，故，。因而，639這就是曲面面積計算公式。注、當落在面的平面區(qū)域時，此時：，故，，這與二重積分的幾何意義是一致的。注、從上述推導過程可知，還成立下述另一個計算公式：。其中為曲面上任意點的切平面的法線方向。注：若由參數(shù)方程給出，為計算此時的面積，將其轉(zhuǎn)化為已知的情形，為此，設由能確定隱函數(shù)，則。利用隱函數(shù)