曲線積分和曲面積分(2)

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1、第十八章曲線積分和曲面積分§1第一類曲線積分一、定義背景：在計(jì)算曲線段上的質(zhì)量分布問題時(shí)，我們?cè)亚€段上的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)有限和的極限，這個(gè)有限和的極限正是本節(jié)要介紹的第一類曲線積分，先給出數(shù)學(xué)定義。給定光滑曲線段，定義在上且連續(xù)，給定的一個(gè)分割：T：這里“”表示曲線上從A到B的順序。記（弧長(zhǎng)），（分割細(xì)度）。定義1、設(shè)存在實(shí)數(shù)I，使對(duì)任意的，存在，使對(duì)任意分割，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都成立：，稱I為在上的第一類曲線積分，記為。其中稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。注、顯然，定義表明。注、有時(shí)用l表示弧長(zhǎng)，因而，第一類曲線積分也記為。不論如何記第一類曲線積分，必須注意到第一類曲線積分

2、是對(duì)弧長(zhǎng)的積分。639注、其幾何意義為：時(shí)，，（的弧長(zhǎng)）。注、第一類曲線積分滿足類似的積分性質(zhì)（略）。二、計(jì)算從定義式可知，計(jì)算的本質(zhì)問題在于對(duì)的處理，下面，就以此為出發(fā)點(diǎn)導(dǎo)出其計(jì)算公式。先給出參數(shù)方程下的計(jì)算公式。設(shè)給定曲線段：是的，即。首先由定積分理論中弧長(zhǎng)公式可知，對(duì)應(yīng)于某一參數(shù)段如的弧長(zhǎng)可由如下定積分計(jì)算事實(shí)上，利用定積分思想，弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程大致如下利用這一弧長(zhǎng)公式可以得到第一類曲線積分的計(jì)算公式。定理1、設(shè)在上連續(xù)，則存在且。證明：對(duì)做任意分割T：對(duì)應(yīng)于形成一個(gè)分割639記，則由定義，==其中，使得。利用弧長(zhǎng)公式和中值定理，則，。故，==其中：。由三角不等式，由于

3、，因而一致連續(xù)，故，對(duì)當(dāng)時(shí)，639，又，，因而有界M，故：。因而，由定積分定義，=故，。對(duì)一般的曲線方程，都可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，因此，定理1解決了第一類曲線積分的計(jì)算問題。下面給出幾個(gè)特例。注：特例：1、對(duì)平面曲線：，則；2、對(duì)平面曲線：，則從計(jì)算公式知，第一類曲線積分的計(jì)算，關(guān)鍵是給出曲線的參數(shù)方程。例1：，：解：采用極坐標(biāo)形式，則，639故，。例2：其中l(wèi)由折線段OA、AB、BO組成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用積分可加性，則其中各段方程如下：，；（可視為以為參數(shù)），（以為參數(shù)）BO：，（以為參數(shù)）故,。注意各種技巧的運(yùn)用，如對(duì)等性對(duì)稱性等。例3：

4、，。解：由于曲線關(guān)于對(duì)等，則，。因而，。例4：，（閉曲線上的積分）解、由于關(guān)于軸對(duì)稱，且是的奇函數(shù)，故，。639事實(shí)上，分為：，故：＝0。639§2第一類曲面積分一、定義背景：在計(jì)算曲面上質(zhì)量分布時(shí)，我們?cè)鴮?dǎo)出質(zhì)量分布的計(jì)算公式為有限和的極，在其它應(yīng)用領(lǐng)域，也經(jīng)常遇到這類有限和的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上建立相應(yīng)的理論，這就是第一類曲面積分。給定有界光滑曲面，定義在上，給定曲面的一個(gè)分割T：，對(duì)應(yīng)的每一個(gè)分割子塊的面積記為，分割細(xì)度仍記為。定義1、若存在實(shí)數(shù)I，使對(duì)任意分割T及任意選取的點(diǎn)，都有稱I為在上的第一類曲面積分，記為其中為被積函數(shù)，稱為積分曲面。注、類似的積分性質(zhì)（略

5、）；注、幾何意義為，時(shí)，。二、計(jì)算從第一類曲線積分的公式推導(dǎo)可知，第一類曲面積分公式的建立，關(guān)健仍然是微小曲面的面積639的計(jì)算。因此，我們首先處理，給出其計(jì)算公式；處理的思想為定積分中的近似方法――微元法。我們知道，是分割后的小曲面塊，當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，曲面塊可近似為平面塊，故，我們從分析平面塊面積的計(jì)算入手。那么，如何計(jì)算平面塊的面積？我們僅知道：當(dāng)平面塊落在坐標(biāo)平面內(nèi)時(shí)，可以利用二重積分計(jì)算其面積，此時(shí)，問題解決。而當(dāng)平面塊不落在坐標(biāo)平面時(shí)，我們利用投影技術(shù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)平面塊面積的計(jì)算。這就是我們處理第一類曲面積分的思想。1、曲面面積的計(jì)算：給定有界曲面：，設(shè)是光滑的，即

6、，求的面積。情形1、特殊情形設(shè)落在平面中，又設(shè)與坐標(biāo)面面的夾角為（銳角），在面的投影區(qū)域?yàn)镈，相應(yīng)的面積分別記為，則，故。當(dāng)選取相對(duì)應(yīng)的鈍角為夾角時(shí)，有。情形2、一般情形為一般光滑曲面：，顯然：D正是在面的投影區(qū)域。為了利用情形1處理，我們利用分割、近似計(jì)算的思想。對(duì)曲面進(jìn)行分割T：，分割細(xì)度為；對(duì)應(yīng)于分割T，形成D的一個(gè)分割：：，分割細(xì)度記為639。當(dāng)T很細(xì)時(shí)，我們希望用某種平面塊代替曲面塊。在曲面上，選擇一個(gè)什么樣的平面塊來(lái)近似代替曲面塊？我們選擇相關(guān)的切平面塊。任取，由于是光滑的，故任一點(diǎn)都有切平面，過(guò)作平面，在上取出一小平面塊，使與具有相同的投影，當(dāng)T很細(xì)時(shí)，。下面計(jì)算

7、。由情形1，只計(jì)算與坐標(biāo)面的夾角的余弦。這使我們聯(lián)想到切平面法線的方向余弦，記為的法線方向與軸正向的夾角，則。由解析幾何理論知道，若平面方程為，則在（）點(diǎn)的法線方向?yàn)?，其中，。?又，，因而，故，。因而，639這就是曲面面積計(jì)算公式。注、當(dāng)落在面的平面區(qū)域時(shí)，此時(shí)：，故，，這與二重積分的幾何意義是一致的。注、從上述推導(dǎo)過(guò)程可知，還成立下述另一個(gè)計(jì)算公式：。其中為曲面上任意點(diǎn)的切平面的法線方向。注：若由參數(shù)方程給出，為計(jì)算此時(shí)的面積，將其轉(zhuǎn)化為已知的情形，為此，設(shè)由能確定隱函數(shù)，則。利用隱函數(shù)