曲線積分和曲面積分的計算.doc

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1、.第21章曲線積分和曲面積分的計算教學目的：教學重點和難點：§1第一類曲線積分的計算設函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，，那么有。例：設是半圓周,。求。例：設是曲線上從點到點的一段，計算第一類曲線積分。例：計算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點，，的直線段?！?第一類曲面積分的計算一曲面的面積（1）設有一曲面塊，它的方程為。具有對和的連續(xù)偏導數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為,令，，，則該曲面塊

2、的面積為。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。頁.二化第一類曲面積分為二重積分（1）設函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對和的連續(xù)偏導數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令，，，則。例：計算，是球面，。例：計算，其中為螺旋面的一部分：。注：第一類曲面積分通過一個二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點，半徑為?！?第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義1.力

3、場沿平面曲線從點A到點B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。2.第二型曲線積分的定義定義1設是一條光滑或逐段光滑曲線，且設是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點開始用分點分成個有向弧段，直至終點。且設。在每一弧段頁.上任取一點，作和式：。其中為起點，為終點。設，這里表示有向線段的長度。若當時，和有極限，且它與的分法無關(guān)，也與點的選擇無關(guān)，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作或。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類曲線積分的一個很重

4、要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個方向就算作正向，否則就算作負向。這時只要方向不變，曲線積分的值是與起點的位置無關(guān)的。二第二類曲線積分的計算設曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：。且設是光滑的。設當參數(shù)從調(diào)地增加到時，曲線從點按一定方向連續(xù)地變到點。設函數(shù)定義在曲線上，且設它在上連續(xù)。則。（*）注：（*）積分下限必須對應積分所沿曲線的起點，上限必須對應終點。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為例：計算

5、積分,L的兩個端點為A(1,1),B(2,3).積分從點A到點B或閉合,路徑為（1）直線段AB；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例：計算積分,這里L:（1）沿拋物線從點O(0,0)到點B(1,2)；（2）沿直線從點O(0,0)到點B(1,2)；（3）沿折線封閉路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).頁.例：計算第二型曲線積分I=,其中L是螺旋線，，從到的一段。三兩類曲線積分的聯(lián)系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。

6、兩者之間的聯(lián)系式為例：證明：對于曲線積分的估計式為。利用這個不等式估計：,并證明。例：設平面區(qū)域由一連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域面積設為，推導用曲線積分計算面積的公式為：?！?第二類曲面積分一曲面的側(cè)的概念1．單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。2．曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向:曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè).設法向量為,則上側(cè)法線方向?qū)谌齻€分量,即選“+”號時，應有，亦即法線方向與軸正向成銳角.類似確定其余各側(cè)的法線方向.封閉曲面分內(nèi)側(cè)和外

7、側(cè).二第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程表示的無重點的光滑曲面,并設在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向?，F(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設為在平面上的投影，從而也得到區(qū)域的一個相應分割。如果取的是上側(cè)，這時所有算作正的。如取下側(cè)，這時所有算作負的。設有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點，作和式其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號的，它們的符號是由所選的側(cè)來決定的。設為頁.的致敬，記。若當時，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關(guān)，也點的選擇無關(guān)，則稱為沿曲面的所選定的一側(cè)上

8、的第二類曲面積分，記為。注：有時也會碰到幾個積分連在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另一側(cè)積分，則所得的值應當變號。三兩類曲面積分的聯(lián)系及第二類曲面積分的計算第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系設為曲面的指定法向,則.定理1設是定