曲線積分和曲面積分(II)

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1、第三節(jié)曲線積分和曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、問題的提出實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1.定義被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2.存在條件（充分條件）：3.推廣（將平面曲線推廣到空間曲線）注意：注意：4.性質(zhì)三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理其中弧微分注意:特殊情形（L的參數(shù)方程確定了一條平面曲線）推廣:由此可見，關(guān)于弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算公式,是先導(dǎo)出用參數(shù)方程表示的平面曲線的公式，然后再將它推廣到用直角坐標(biāo)方程表示的平面曲線和用參數(shù)方程表示的空間曲線例1。計(jì)算解：例2

2、解例3解（分部積分）例4解由對(duì)稱性,知對(duì)于用一般方程表示的空間曲線，要計(jì)算函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是比較困難的，有時(shí)要結(jié)合一些小的技巧才能使計(jì)算較為簡(jiǎn)易四、幾何與物理意義下面再分析幾個(gè)例題：解：=9補(bǔ)充：計(jì)算，其中L：由對(duì)稱性可知為雙紐線解：思考題對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中的符號(hào)可能為負(fù)嗎？思考題解答的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與重積分進(jìn)行比較：相同點(diǎn)：1。物理意義都是表示質(zhì)量2?；啥ǚe分后的積分下限都小于積分上限不同點(diǎn)：重積分：不能代入，如線積分：可以代入，如這里，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、問題的提出實(shí)例:變力

3、沿曲線所作的功常力F沿直線AB所作的功分割求和取極限近似值精確值二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義類似地定義2.存在條件：3.組合形式4.推廣5.性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理特殊情形(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）可用向量表示有向曲線元；例1解例2解問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.例3解問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)

4、系思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.思考題練習(xí)題