資源描述：
《曲線積分和曲面積分》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、曲線積分和曲面積分?一、一、基本內(nèi)容?（一）第一型曲線積分與曲面積分1.第一型曲線積分（1）第一型曲線積分的定義若是封閉的，則記作．(2)第一型曲線積分的計(jì)算2.第一型曲面積分（1）第一型曲面積分的定義（2）第一型曲面積分的計(jì)算（二）第二型曲線積分1第二型曲線積分的定義設(shè)，當(dāng)，，都存在時(shí)，其中是的單位切向量，稱為一般形式的第二型曲線積分.2.第二型曲線積分的計(jì)算3.格林公式及其一些命題（1）格林公式（2）若、、、在單連通域上均連續(xù)，則下列四個(gè)命題等價(jià)：1)只依賴于區(qū)域內(nèi)的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與連結(jié)、的積分路徑無關(guān)；2)在區(qū)域上，是某一個(gè)函數(shù)的全
2、微分，且第11頁共11頁點(diǎn)是內(nèi)的某一定點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)；3)在區(qū)域上的每一點(diǎn)處都成立；4)，其中是內(nèi)的任意一條逐段光滑的閉曲線．（三）第二型曲面積分1.第二型曲面積分的定義稱為一般形式的第二型曲面積分，當(dāng)是閉曲面時(shí)，積分號將寫成．2.第二型曲面積分的計(jì)算,同理計(jì)算,．3.奧-高公式與斯托克斯公式（1）（2）4..向量場的散度與旋度稱為散度,稱為旋度．二、練習(xí)題?10.1計(jì)算下列第一型曲線積分：（1）計(jì)算,其中為連接，，的直線段所圍成的圍線．解：如圖10-1，；O11ABxy圖10-1；．．第11頁共11頁（2），其中為擺線，的第一拱．解：
3、擺線的第一拱，則．．（3），其中是．解：是關(guān)于的奇函數(shù),而是關(guān)于軸對稱.由第一型曲線積分的對稱性知：．(x,y)a/2axyOt圖10-2（4），其中為圓周．解：如圖10-2，方程為：，其中．原式．（5），其中為圓周．解：的參數(shù)方程為：．．．zOBaxACyaa圖10-3（6）計(jì)算球面在第一象限上的邊界曲線的形心．解：不妨假設(shè)，如圖10-3，．．??第11頁共11頁其中；；．．故．又由于圖形的對稱性知．（7）設(shè)的方程為，其線密度，求對于原點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)引力．解：的極坐標(biāo)方程為，，，．．由對稱性知．10.2計(jì)算下列第二型曲線積分：（1），為
4、拋物線．解：原式．（2），其中為拋物線段，為直線．解：原式第11頁共11頁．（3），為沿參數(shù)增加的方向進(jìn)行的曲線．zOB1xACy11圖10-4解：原式．（4），為球面的第一象限中的部分的邊界，當(dāng)沿著它的正向進(jìn)行時(shí)曲面的外面保持在左方．解：如圖10-4，由對稱性知原積分為．，從到．原積分．（5），是從沿曲線到點(diǎn)．解：補(bǔ)充直線段，從到．原積分．（6），其中為域的正方向的周線．解：由格林公式，第11頁共11頁．（7），為沿正向進(jìn)行，而不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡單閉曲線．??圖10-5解：（1）若原點(diǎn)不在所圍的區(qū)域內(nèi)，直接應(yīng)用格林公式（2）若原點(diǎn)在所圍
5、成的區(qū)域內(nèi)，如圖10-5，在原點(diǎn)附近作一個(gè)充分小的圓周，其方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，設(shè)與所圍成的復(fù)連域?yàn)?，則．（8）．解：．故積分與路徑無關(guān)．1A3xyo?-1B(3,-1)圖10-6C如圖10-6，選取路徑，計(jì)算積分．原積分．（9）．1OB(1,)xy圖10-7A解：，故積分與路徑無關(guān)，如圖10-7，選取路徑計(jì)算積分．原積分第11頁共11頁．10.3計(jì)算下列第一型曲面積分：2圖10-8（1），是在第一象限的部分．解：，．如圖10-8，．a(chǎn)圖10-9（2），是的表面．解：如圖10-9，?。?，．則．(3)設(shè)曲面的面密度為，求其質(zhì)心坐標(biāo)及對于坐標(biāo)軸
6、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解：由對稱性知：．．第11頁共11頁．．故質(zhì)心坐標(biāo)為．．由對稱性知．．10.4計(jì)算下列第二型曲面積分：(1),是由與所圍成的立體的表面內(nèi)側(cè)．解：由高斯公式知．（2），是由，及所圍成立體表面外側(cè)．解：由高斯公式．（3），為球面的外側(cè)．解：．第11頁共11頁由對稱性知．故原積分設(shè)，，，則仍有．．（4）求向量穿過曲面為的全表面流向外側(cè)的流量．解：．?三、測驗(yàn)題?1.1.?????填空（1）是曲線，其周長為，則等于．解：由積分的對稱性知，又即：，故．（2）是順時(shí)針方向的光滑封閉曲線，所圍成的平面圖型的面積為，則．解：由格林公式，．（3
7、）.（4）略．2.2.?????選擇（1）.（2）.（3）略．（4），其中是平面被柱面所截得部分的上側(cè)，則等于（）．A.B.C.D.，．故，，，有，，．第11頁共11頁．選取坐標(biāo)：，，則．，應(yīng)選B．1.計(jì)算下列各題（1），其中是從沿，到．解：補(bǔ)充直線段，，其中．．(2)求擺線，的弧的重心．解：．．．．第11頁共11頁故，．（3）計(jì)算，其中是從軸正向看的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向．解：取為被所截得的部分，由右手定則方向?yàn)橄聜?cè)，根據(jù)斯托克斯公式有：．（4），其中是在的第一象限部分的下側(cè)．解：補(bǔ)面，，，，，取上側(cè)；，，，取左側(cè)；，，，取后側(cè)．．第11頁共
8、11頁
