曲線積分和曲面積分(3)

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1、第10章曲線積分和曲面積分參考解答1、計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中L為由Oxy平面上的直線及拋物線所圍成區(qū)域的邊界。第1（1）題解：，（2），L為橢圓，其周長為a。解：注意第一類曲線積分的對稱性：若曲線關(guān)于x（y）軸對稱，而被積函數(shù)關(guān)于y（x）為奇函數(shù)，則曲線積分為零！（3），L為圓周（）。解：圓周之參數(shù)方程為（），故17（4），L為解：（5），L圓周為解：因，故2、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分：（1），其中L為折線上從點到點再到點的二線段。解：，17（作代換，知第二個定積分與第一個相等）（2），L是圓周，從z軸正向看去，該

2、圓周取逆時針方向。解：L的參數(shù)方程為，故得3、利用Green公式計算下列曲線積分：（1），L由，與x軸圍成，沿逆時針方向。第3（1）題解：L為封閉曲線，如圖所示，直接運用Green公式。17（）但，故得。從而得（2），L由的正向。第3（2）題17解：，，。但和在L所圍正方形區(qū)域內(nèi)并不連續(xù)（在點處兩者根本不存在），故不滿足Green公式之條件。為此，采用“挖地雷”方法：取以原點為心、（或小于的任意正數(shù)）為半徑的圓l，并取逆時針方向，如圖所示。其參數(shù)方程為：于是，l和L所圍區(qū)域D成為“安全地帶”，在D上，P和Q均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，G

3、reen公式成立。于是因此，4、計算積分，其中L是由點沿曲線到點的弧段。第4題17解：這里，。因此，在曲線L和線段AB所圍閉區(qū)域上，曲線積分與路徑無關(guān)。這里，線段AB的方程為，，方向為從點A指向點B。因此，。5、驗證是某函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個。解：這里，故因而，故知為某函數(shù)的全微分。以下我們用兩種方法來求。方法1（利用曲線積分）：方法2（利用待定函數(shù)法）：因，故得（將y看作常數(shù)）17（其中為待定函數(shù)，與x無關(guān)）于是，但另一方面，，故于是得，。因此所求函數(shù)為，其中C可取任意常數(shù)。6、計算下列對面積的曲面積分：（1），其中是錐

4、面在柱體內(nèi)的部分。第6（1）題解：17（2），其中為球面。解：因關(guān)于三個坐標(biāo)面都是對稱的，故，，于是利用輪換對稱性，因此，（注意球的表面積為）于是得（3），其中為平面被柱面所截下的部分。解：17第6（3）題7、計算下列對坐標(biāo)的曲面積分：（1），其中是圓柱面被平面和所截下的部分，取外側(cè)。17第7（1）題解：被yoz平面分成和兩片，對于x軸正向而言，取上側(cè)，而取下側(cè)，它們在yoz平面上的投影區(qū)域和如上圖所示。于是因此。（2），其中是球面，的外側(cè)。解：利用公式得17（3），其中是錐面被，所截部分的外側(cè)。第7（3）題解：利用公式，得注：第

5、二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）的解題步驟為“一投”、“二代”、“三定號”。17上兩題中，我們將積分統(tǒng)一化為在xoy平面投影區(qū)域上的二重積分，解題過程得到大大簡化。這是在不適合用Gauss公式（曲面不封閉；或即使可以補成封閉，但計算未能得到簡化）時常用的方法。否則，像第（1）小題那樣，我們往往必須將曲面分塊，分別進(jìn)行投影。選擇最優(yōu)策略，省出寶貴時間，去做更多事情，不亦樂乎？8、利用Gauss公式計算曲面積分：（1），其中為平面，，，所圍立體表面的外側(cè)。解：（2），其中為下半球面的上側(cè)。解：補一圓面：，取下側(cè)。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè)

6、，與Gauss公式所要求的外側(cè)相反，故第二個等式右邊三重積分前有一個負(fù)號！9、求向量場在點處的散度。解：10、設(shè)流體密度為1，流速，求單位時間內(nèi)從曲面的下側(cè)流向上側(cè)的流量。解：將曲面記為Σ（為旋轉(zhuǎn)拋物面），補一取下側(cè)的圓面：17。于是注意封閉曲面取內(nèi)側(cè)，與Gauss公式所要求的外側(cè)相反，故第三個等式右邊三重積分前有一個負(fù)號！11、設(shè)，求的旋度，并計算曲面積分，其中為錐面，其法向量與z軸正向夾角為銳角。解：可用兩種方法來計算。解法1（創(chuàng)造條件，運用Gauss公式）（第一類曲面積分）（第二類曲面積分）（其中為圓面之下側(cè)，封閉曲面取外側(cè)

7、）（Gauss公式）17（二重積分之極坐標(biāo)算法）解法2（直接運用Stokes公式）（上側(cè)）之邊界線L為xoy平面上半徑為2的圓，取逆時針方向，其參數(shù)方程為，于是12、用Stokes公式計算，其中為圓周，，從x軸正向看，取逆時針方向。解：記，所圍圓面為，取上側(cè)。則（轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分）注意到平面之法向量為，故，因此得13、求，L為空間螺線。解：1714、設(shè)函數(shù)在XOY平面上具有一節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對任意t，恒有，求。解：因曲線積分與路徑無關(guān)，故有。故可設(shè)，其中為與x無關(guān)的待定函數(shù)。于是因，故得即，從而得，或即。

8、因此。15、確定常數(shù)λ，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求。解：向量為某二元函數(shù)的梯度，等價于說：存在某二元函數(shù)，使得，也就是說，為某二元函數(shù)的全微分。17根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)的條件，得即整理得故得。由得從而另一方面，。故得，。因此。1