1齊次平衡法求解非線性方程-李士崗

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1、齊次平衡法求解非線性方程李士崗（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）摘要：本文概述了齊次平衡原則的基本思想和步驟，并應(yīng)用于非線性數(shù)學(xué)物理方程的求解。這是一種解題方法的創(chuàng)新及應(yīng)用，以KdV方程為例，驗(yàn)證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的周期解，并且還可獲得孤子解和其它形式的解。關(guān)鍵詞：齊次平衡原則；非線性變換；非線性偏微分方程；KdV方程；周期解。一、引言40多年來(lái)，非線性數(shù)學(xué)物理方程研究領(lǐng)域頗具特色成就之一是發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了非線性偏微分方程精確解(特別是孤立波解)的各種精巧方法。如反散射方法、雙線性算子方法、變換(BT)等。近年來(lái)提出并發(fā)展起來(lái)的齊次平衡方法[1-4]，實(shí)際上是求非線性偏微分方程精確解的一種

2、指導(dǎo)原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來(lái)。因而齊次平衡原則具有直接、簡(jiǎn)潔、步驟分明的特點(diǎn)；再者，還適用于用計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，且得到的是精確的結(jié)果。本文基本內(nèi)容安排如下：概述齊次平衡原則的主要思想與步驟；簡(jiǎn)述用齊次平衡原則導(dǎo)出非線性偏微分方程的非線性變換及精確解。二、齊次平衡原則[9]我們概述一下齊次平衡原則的基本思想和步驟，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅以一個(gè)未知函數(shù)，兩個(gè)自變量的情形為例來(lái)闡明，對(duì)若干個(gè)未知函數(shù)及多個(gè)自變量的方程組的情形，可類似地表述。給定一個(gè)非線性偏微分方程（1）這里P一般是關(guān)于u對(duì)x，t的偏導(dǎo)數(shù)或混合導(dǎo)數(shù)的高階

3、導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。一個(gè)函數(shù)稱為是方程（1）的擬解，如果存在單變?cè)暮瘮?shù)，使關(guān)于x和t的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，即（2）第9頁(yè),共9頁(yè)關(guān)于x和t的低于m+n階偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，或者將（2）改寫(xiě)為：（3）的各種偏導(dǎo)數(shù)為變?cè)牡陀趍+n次的一個(gè)多項(xiàng)式（不管及其導(dǎo)數(shù)），精確地滿足（1）、（2）及（3）中的非負(fù)整數(shù)m,n,單變?cè)瘮?shù)以及函數(shù)都是特定的，將（3）代入（1）后，可通過(guò)下述步驟確定它們。首先，使最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中包含的的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項(xiàng)中包含的關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等，來(lái)決定非負(fù)整數(shù)m及n是否存在（若發(fā)生m及n中有負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)的情形，可通過(guò)未知函數(shù)的變換，將原方程化為新未知函數(shù)方程

4、，使相應(yīng)的m，n為非負(fù)的，其針對(duì)不同方程有不同的變換）。其次，集合的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項(xiàng)，使其系數(shù)為零，而得滿足的常微分方程，解之可得，一般是對(duì)數(shù)函數(shù)。第三，將的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)，用的較高階的導(dǎo)數(shù)來(lái)代替，再將的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別合并在一起，并令其系數(shù)為零，而得的各次齊次型的一般是過(guò)定的偏微分方程組，可適當(dāng)選擇（2）中線性組合之系數(shù)，使過(guò)定的偏微分方程組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結(jié)果代入（3），經(jīng)過(guò)一些計(jì)算就可得到（1）的精確解。對(duì)許多非線性數(shù)學(xué)物理方程（組），上述步驟的解答使肯定的，故齊次平衡原則有一定的普適性。此外，也可用其它方式敘述齊次平衡原則，其敘述方式依賴于對(duì)方程（1

5、）的解的相應(yīng)的先驗(yàn)假設(shè)形式，這里不再贅述。三、非線性變換與周期解[9]用齊次平衡原則可導(dǎo)出相當(dāng)廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，可得非線性偏微分方程的各種形式的精確解。這方面的主要結(jié)果可在[1-9]中找到。這類方程包括著名的Burgers方程(含高階情形，多維情形以及方程組的情形)，KdV方程[7]（含mKdV，高階KdV，多維情形以及耦合KdV第9頁(yè),共9頁(yè)方程組的情形），Benjamin-Bona-Mahony方程,Kuramoto-Sivashinsky方程,粒子物理的方程，Chaffea-Infante反應(yīng)擴(kuò)散方程,Fisher方程（含各種廣義Fisher方程）,

6、水波的Boussinesq方程組及其各種變形等，至少有及十種之多[5-6]。現(xiàn)以KdV方程為例，驗(yàn)證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的各種精確解，以便于對(duì)齊次平衡原則的具體應(yīng)用有個(gè)清楚的了解。例1：對(duì)KdV方程[9]：（4）為使非線性項(xiàng)與最高次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求：m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解：（5）其中,為待定函數(shù)。將（5）及上述等式代入（4），可得：第9頁(yè),共9頁(yè)（6）令（7）可設(shè)：∴，，，，∴即：c=2∴（8）進(jìn)而可得如下關(guān)系：，，，（9）利用（7）和（9），（6）可簡(jiǎn)化為：令的系數(shù)為零，欲使這些條件成立，只須滿足（10）（

7、11）由于齊次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假設(shè)（10）、（11）具有如下形式解：（12）其中k，r為待定常數(shù)。，，，第9頁(yè),共9頁(yè)，，代入（10）、（11）可得：∴或或①當(dāng)時(shí)，∴②當(dāng)時(shí)，∴，③當(dāng)時(shí)，∴例2：對(duì)KdV方程[8]：（13）為使非線性項(xiàng)與最高次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解：（14）其中,為待定