齊次平衡法求解非線性方程-李士崗

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1、齊次平衡法求解非線性方程李士崗（包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）摘要：本文概述了齊次平衡原則的基本思想和步驟，并應(yīng)用于非線性數(shù)學(xué)物理方程的求解。這是一種解題方法的創(chuàng)新及應(yīng)用，以KdV方程為例，驗證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的周期解，并且還可獲得孤子解和其它形式的解。關(guān)鍵詞：齊次平衡原則；非線性變換；非線性偏微分方程；KdV方程；周期解。一、引言40多年來，非線性數(shù)學(xué)物理方程研究領(lǐng)域頗具特色成就之一是發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了非線性偏微分方程精確解(特別是孤立波解)的各種精巧方法。如反散射方法、雙線性算子方法、變換(BT)等。

2、近年來提出并發(fā)展起來的齊次平衡方法[1-4]，實際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指導(dǎo)原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定步驟求出它來。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點；再者，還適用于用計算機(jī)符號計算系統(tǒng)進(jìn)行計算，且得到的是精確的結(jié)果。本文基本內(nèi)容安排如下：概述齊次平衡原則的主要思想與步驟；簡述用齊次平衡原則導(dǎo)出非線性偏微分方程的非線性變換及精確解。二、齊次平衡原則[9]我們概述一下齊次平衡原則的基本思想和步驟，為簡單起見，僅以一個未知函數(shù)

3、，兩個自變量的情形為例來闡明，對若干個未知函數(shù)及多個自變量的方程組的情形，可類似地表述。給定一個非線性偏微分方程（1）這里P一般是關(guān)于u對x，t的偏導(dǎo)數(shù)或混合導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。一個函數(shù)稱為是方程（1）的擬解，如果存在單變元的函數(shù)，使關(guān)于x和t的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，即（2）第9頁,共9頁關(guān)于x和t的低于m+n階偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，或者將（2）改寫為：（3）的各種偏導(dǎo)數(shù)為變元的低于m+n次的一個多項式（不管及其導(dǎo)數(shù)），精確地滿足（1）、（2）及（3）中的非負(fù)整數(shù)m,n,單變元函數(shù)以及函數(shù)都是特定的，

4、將（3）代入（1）后，可通過下述步驟確定它們。首先，使最高階偏導(dǎo)數(shù)項中包含的的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項中包含的關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等，來決定非負(fù)整數(shù)m及n是否存在（若發(fā)生m及n中有負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)的情形，可通過未知函數(shù)的變換，將原方程化為新未知函數(shù)方程，使相應(yīng)的m，n為非負(fù)的，其針對不同方程有不同的變換）。其次，集合的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項，使其系數(shù)為零，而得滿足的常微分方程，解之可得，一般是對數(shù)函數(shù)。第三，將的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項，用的較高階的導(dǎo)數(shù)來代替，再將的各階導(dǎo)數(shù)項分別合并在一起，并令其系數(shù)為零，而得的

5、各次齊次型的一般是過定的偏微分方程組，可適當(dāng)選擇（2）中線性組合之系數(shù)，使過定的偏微分方程組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結(jié)果代入（3），經(jīng)過一些計算就可得到（1）的精確解。對許多非線性數(shù)學(xué)物理方程（組），上述步驟的解答使肯定的，故齊次平衡原則有一定的普適性。此外，也可用其它方式敘述齊次平衡原則，其敘述方式依賴于對方程（1）的解的相應(yīng)的先驗假設(shè)形式，這里不再贅述。三、非線性變換與周期解[9]用齊次平衡原則可導(dǎo)出相當(dāng)廣泛的一大類非線性偏微分方程的非線性變換，借助這種變換，可得非線性偏微分方程的各種形式

6、的精確解。這方面的主要結(jié)果可在[1-9]中找到。這類方程包括著名的Burgers方程(含高階情形，多維情形以及方程組的情形)，KdV方程[7]（含mKdV，高階KdV，多維情形以及耦合KdV第9頁,共9頁方程組的情形），Benjamin-Bona-Mahony方程,Kuramoto-Sivashinsky方程,粒子物理的方程，Chaffea-Infante反應(yīng)擴(kuò)散方程,Fisher方程（含各種廣義Fisher方程）,水波的Boussinesq方程組及其各種變形等，至少有及十種之多[5-6]。現(xiàn)以KdV方程為例，

7、驗證齊次平衡原則并借之獲得KdV方程的各種精確解，以便于對齊次平衡原則的具體應(yīng)用有個清楚的了解。例1：對KdV方程[9]：（4）為使非線性項與最高次導(dǎo)數(shù)項部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求：m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（4）具有如下形式的解：（5）其中,為待定函數(shù)。將（5）及上述等式代入（4），可得：第9頁,共9頁（6）令（7）可設(shè)：∴，，，，∴即：c=2∴（8）進(jìn)而可得如下關(guān)系：，，，（9）利用（7）和（9），（6）可簡化為：令的系數(shù)為零，欲使這些條件成立，只須滿足（10）（11）由于齊

8、次方程具有余弦形式的解，依齊次平衡法，可假設(shè)（10）、（11）具有如下形式解：（12）其中k，r為待定常數(shù)。，，，第9頁,共9頁，，代入（10）、（11）可得：∴或或①當(dāng)時，∴②當(dāng)時，∴，③當(dāng)時，∴例2：對KdV方程[8]：（13）為使非線性項與最高次導(dǎo)數(shù)項部分平衡，設(shè)由此容易算出：在上式中要求m+3=2m+1,n=2nm=2,n=0,于是（13）具有如下形式的解：（14）其中,為待定