曲線積分與曲面積分總結(jié)

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1、第十一章：曲線積分與曲面積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分BA參數(shù)方程若則原式=對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分若則原式=常見的參數(shù)方程為：22特別的：二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法一：若起點(diǎn)處，終點(diǎn)處則原式=對(duì)坐標(biāo)的曲線積分起點(diǎn)處，終點(diǎn)處則原式=計(jì)算方法二：在計(jì)算曲線積分時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶砑泳€段或曲線，是之變成一個(gè)封閉曲線上的曲線積分與所添加線段或曲線上的曲線積分之差，從而對(duì)前者利用格林公式，后者利用參數(shù)方程。如圖：L1L三、格林公式其中L為D的正向邊界特別地：當(dāng)時(shí)，積分與路徑無(wú)關(guān)，且是某個(gè)函數(shù)的全微分注：在計(jì)算曲線積分時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶砑泳€段或曲線，是之變成一個(gè)封

2、閉曲線上的曲線積分與所添加線段或曲線上的曲線積分之差，從而對(duì)前者利用格林公式。四、對(duì)面積的曲面積分1、當(dāng)曲面為2、當(dāng)曲面為3、當(dāng)曲面為特別的：例：為上半球面五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與Z軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負(fù)；2、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與Y軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負(fù)；3、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與X軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負(fù)；計(jì)算方法：=注：在計(jì)算曲面積分時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶砑悠矫婊蚯妫侵兂梢粋€(gè)封閉曲面上的曲面積分與所添加平面或曲

3、面上的曲面積分之差，從而對(duì)前者利用高斯公式。六、高斯公式其中是的邊界曲面的外側(cè)。注：在計(jì)算曲面積分時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶砑悠矫婊蚯?，是之變成一個(gè)封閉曲面上的曲面積分與所添加平面或曲面上的曲面積分之差，從而對(duì)前者利用高斯公式。例如：計(jì)算，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面的部分曲面。練習(xí)1、求2、求3、求，其中為正常數(shù)，L從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線到點(diǎn)O(0,0)的弧。4、計(jì)算,其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周5、計(jì)算，其中是由沿到的曲線段。6、計(jì)算，其中為球面7、計(jì)算，是被z=0所截部分的外側(cè)。8、計(jì)算，是方向?yàn)橥鈧?cè)。