曲線積分與曲面積分

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1、第十章曲線積分與曲面積分一、基本內容要求1．理解線、面積分的概念，了解線、面積分的幾何意義及物理意義，能用線、面積分表達一些幾何量和物理量；2．掌握線、面積分的計算法；3．知道兩類曲線積分及兩類曲面積分的聯(lián)系；4．掌握格林公式，并能將沿閉曲線正向的積分化為該曲線所圍閉區(qū)域上的二重積分；5．掌握曲線積分與路徑無關的充要條件，并能求全微分為已知的某個原函數(shù)，注意此時所討論問題單連通域的條件不可缺少；6．掌握高斯公式，并能將閉曲面Σ外側上的一個曲面積分化為由其所圍空間閉區(qū)間Ω上的三重積分。二、選擇1．設是從O（

2、0，0）到點M（1，1）的直線段，則與曲線積分I=不相等的積分是：（）A)B)C)D)2．設L是從點O(0,0)沿折線y=1-

3、x-1

4、至點A(2,0)的折線段，則曲線積分I=等于（）A)0B)-1C)2D)-23．設L為下半圓周，將曲線積分I=化為定積分的正確結果是：（）A)B)C)D)4．設L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)為頂點的三角形域的周界沿ABCA方向，則等于：（）A)-8B)0C)8D)205．設AEB是由點A(-1,0)沿上半圓經點E(0,1)到點B(1,0)，則曲線積分I

5、=等于：（）A)0B)C)D)一、填空1．是光滑閉曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所圍的空間閉區(qū)域為Ω；設函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則由高斯公式，有=。2．設L是xoy平面上沿順時針方向繞行的簡單閉曲線，且，則L所圍成的平面閉區(qū)域D的面積等于。3．設函數(shù)P(x,y,z,)在空間有界閉區(qū)域Ω上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又Σ是Ω的光滑邊界面的外側，則由高斯公式，有。4．設Σ是球面的外側，則積分。5．設L是xoy面上的圓周的順時針方向，則I1=與I2=的大小關系

6、是。6．設力的模,的方向與相同，則在力的作用下，質點沿曲線L:正向繞行一周，力所做的功可用曲線積分表示為:。一、計算1．計算曲線積分，其中L為連結O(0,0),A(1,0),B(0,1)的閉曲線OABO.2．計算，其中L由直線段AB與BC組成，路徑方向從點A(2,-1)經點B(2,2)到點C(0,2).3．求I=,其中為由點A(a,0)到點O(0,0)上半圓周.4．驗證：當時，是某二元函數(shù)U(x,y)的全微分，并求U(x,y).5．計算，Σ是球面在第一卦限部分的上側。6．設在xoy面內有一分布著質量的曲線

7、弧L，在點(x,y)處它的線密度為ρ(x,y)，用對弧長的曲線積分分別表達：（1）這曲線弧對x軸、對y軸的轉動慣量Ix,Iy；（2）這曲線弧的重心坐標。1．計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中L為圓周x=acost,y=asint；（2），其中L為圓周，直線y=x及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；（3），其中為折線ABCD，這里A,B,C,D依次為點(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).1．計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中L為圓周及x軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的

8、整個邊界（按逆時針方向繞行）；（2），其中L為圓周（按逆時針方向繞行）；（3），其中Γ是從點(1,1,1)到點(2,3,4)的一段直線。9．利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：圓.10．證明下列曲線積分在整個xoy面內與路徑無關，并計算積分值：11．利用格林公式，計算下列曲線積分：,其中L為正向星形線.12．驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個xoy平面內是某一函數(shù)U(x,y)的全微分，并求這樣的一個U(x,y)：13．計算下列對面積的曲面積分：（1），其中Σ為平面2x+2y+z=6在

9、第一卦限中的部分；（2），其中Σ為錐面被柱面所截得的有限部分。14．求拋物面殼()的質量，此殼的面密度的大小為ρ=z.15．計算下列對坐標的曲面積分：（1），其中∑是柱面被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限內的部分的前側；（2），其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側。16．利用高斯公式計算曲面積分：,其中∑為球面的外側。一、證明已知f(u)連續(xù)，且L為逐段光滑的簡單封閉曲線，證明：二、應用1．求均勻的錐面（設面密度為1）對ox軸的轉動慣量。2．求矢量場穿

10、過圓柱體的全表面的流量和側表面的流量。3．求均勻弧x=a(t-sint),y=a(1-cost)的重心坐標。4．設z軸與重力的方向一致，求質量為m的質點從位置()沿直線移動到()時重力所作的功。5．設曲線L的極坐標方程為，其上任一點處的線密度等于該點處矢徑的長度，求L的質量。6*．求半徑為R的均勻半圓周L（線密度為δ=1）對于位于圓心的單位質量的質點的引力。7*．試用曲線積分求平面曲線L1：繞直線L2：旋轉所成旋轉曲面的面積。