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1、第二十一章曲線積分與曲面積分§1第一型曲線積分與曲面積分1．對照重積分的基本性質寫出第一型曲線積分和第一型曲面積分的類似性質．2．計算下列第一型曲線積分：(1)，其中是以（0，0），（2，0），（0，1）為頂點的三角形；(2)，其中是圓周；(3)，其中為螺線；(4)，其中與(3)相同；(5)，其中為內擺線；(6)，其中為擺線的一拱；(7)，其中為球面與平面的交線；(8)，其中同(7)；(9)，其中是曲線；(10)，其中是與相交的圓周．3．計算下列第一型曲面積分：(1)，其中是立體的邊界曲面；(2)，其中為柱面被平面和所截取
2、的部分；(3)，其中為曲面被割下的部分；(4)，其中為螺旋面的一部分：；(5)，是球面．4．設曲線的方程為，它在每一點的密度與該點的矢徑平方成反比，且在點(1,0,1)處為1，求它的質量．5．設有一質量分布不均勻的半圓弧，其線密度(為常數(shù))，求它對原點(0，0)處質量為的質點的引力．6．求螺線的一支：對軸的轉動慣量．設此螺線的線密度是均勻的．7．求拋物面殼，的質量．設此殼的密度．8．計算球面三角形，的圍線的重心坐標．設線密度．9．求均勻球殼對軸的轉動慣量．10．求均勻球面的重心坐標．11．若曲線以極坐標給出：，試給出計算的
3、公式，并用此公式計算下列曲線積分：(1)，其中是曲線；(2)，其中是對數(shù)螺線在圓內的部分．12．求密度的截圓錐面對位于曲面頂點(0,0,0)的單位質點的引力．當時，結果如何？13．計算，其中是一平面，而.§2第二型曲線積分與曲面積分1．計算下列第二型曲線積分：(1)，其中為擺線沿增加的方向；(2)，其中為圓周依逆時針方向；(3)，其中為從（1,1,1）到（2,3,4）的直線段；(4)，為從(1,1)到(-1,1)；(5)，為曲線從(1,1,0)到；(6)，為以為頂點的正方形沿逆時針方向．2．計算曲線積分．(1)為球面三角形
4、，的邊界線，從球的外測看去，的方向為逆時針方向；(2)是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點看去，是順時針方向．3．求閉曲線上的第二型曲線積分，(1)為圓，逆時針方向；(2)為橢圓，順時針方向；(3)為以(0,0)為中心，邊長為，對邊平行于坐標軸的正方形，順時針方向；(4)是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)為頂點的三角形，順時針方向．4．求力場對運動的單位質點所作的功，此質點沿曲線從點運動到點：(1)，為平面曲線，；(2)，為平面曲線，；(3)，的矢量形式為，；(4)，的參數(shù)式為（為正數(shù)），．5．設在上連
5、續(xù)，為光滑弧段，弧長為，證明：．其中．6．設光滑閉曲線在光滑曲面上，的方程為，曲線在平面上的投影曲線為，函數(shù)在上連續(xù)，證明：．7．計算，其中：與相交的圓，其方向按曲線依次經(jīng)過1,2,7,8卦限．8．計算下列第二型曲面積分：(1)，其中為，六個平面所圍的正立方體的外測；(2)，其中是以原點為中心，邊長為2的正立方體表面的外測；(3)，為的上半部分的上測；(4)，為柱面被平面及所截部分的外測；(5)，是由平面和所圍的四面體表面的外測；(6)，為球面的外測；(7)，是球面的外測．9．設某流體的流速為，求單位時間內從球面的內部流過
6、球面的流量．10．設流體的流速為，求穿過柱面外測的流量．
