曲線積分與曲面積分

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1、曲線積分與曲面積分一、選擇1．設(shè)向量場(chǎng)A=xeyzi+yezxj+zexyk,則A在點(diǎn)M(1，－1，0)處的旋度rotA｜M是(A).{1,1,1}.(B).{0,－1,1}.(C).{1,－1,0}.(D).{1,0,－1}.2．設(shè)是某二元函數(shù)的全微分，則m=A.0;B.1;C.2;D.33.若是某二元函數(shù)的全微分，則a,b的并系是A.a－b=0;B.a+b=0;C.a－b=1;D.a+b=1.4.曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關(guān)系：5.設(shè)∑為平面在第一卦限的部分，則6設(shè)L是xoy平面上的一條光滑曲線弧，函數(shù)f(x,y)在L上有界。用L

2、上的點(diǎn)M1，M2，…Mn－1把L分成n個(gè)小段。設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為ΔSi·(ζi,ηi)為第i小段上的一點(diǎn)，i=1,2,…,n。則函數(shù)f(x,y)在曲線L上的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(A)(B)(C),且極限值與L的分法無(wú)關(guān)，與(ξi,ηi)的取法無(wú)關(guān)。(D)，其中ΔSi必須有相等的長(zhǎng)度。其中入為ΔSi的長(zhǎng)度的最大值。4設(shè)∑為柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限部分，則（A）；（B）；（C）；（D）二、填空1．設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是單連通域上任意簡(jiǎn)單閉曲線，且則f(x)=_______.2．設(shè)曲線段的參數(shù)方程為x=φ(t),y=

3、ψ(t),其中α≤t≤β。如果曲線段上的點(diǎn)(x,y)處線密度函數(shù)為ρ(x,y)，則曲線段的質(zhì)量的計(jì)算公式為_(kāi)_________.3．設(shè)有一力場(chǎng)，其場(chǎng)力的大小與作用點(diǎn)到Z軸的距離成反比，方向垂直于Z軸并指向Z軸。若某質(zhì)點(diǎn)沿著一條光滑曲線C從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，則此時(shí)場(chǎng)力所作的功的計(jì)算表達(dá)式為_(kāi)_____4.柱面∑以xoy平面上的線段L為準(zhǔn)線，母線平行于oz軸，則∑介于平面z=0及曲面z=1+x2+y2之間的部分的面積可用曲線積分表示為_(kāi)________.三、解答1求向量yzi+xzj+xyk穿過(guò)圓柱體x2+y2≤R2,0≤z≤H的全表面∑的外側(cè)的通

4、量。2計(jì)算曲線積分式中L是正向圓周x2+y2=1.3計(jì)算,其中r是螺線：x=tcost,y=tsint,z=t.(0≤t≤t0)4計(jì)算其中∑是球面x2+y2+z2=R2,R為正數(shù)，α，β和γ為實(shí)數(shù)。5.設(shè)n為閉曲線C的朝外的法向量，D為C所圍成的閉區(qū)域，函數(shù)u(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。試證明6．試證：若簡(jiǎn)單閉曲線L不通過(guò)y軸(x≠0),則所圍面積為7．試求在x≥0部分由曲線y=sin2x及y=cos4x所圍第一塊封閉圖形的面積。8．求曲面z=x2+y2被曲面所截下的那部分曲面∑的面積S。9計(jì)算，其中L是逆時(shí)針?lè)较虻拈]曲線，其方程是x4+y

5、4=x2+y2.(x2+y2≠0).10計(jì)算其中∑是由曲面與平面z=0所圍立體Ω的表面的外側(cè)，a,b,c都是正數(shù)。11試驗(yàn)證：其中P為任意一條有向的光滑封閉曲線。一．選擇CABBBCB二、填空1、x2+c2二．36、4．三解答1、0（高斯公式）2、0（格林公式）32、由對(duì)稱性，5.略6解答下列各題（本大題8分）sin2x=cos4xx≥0得5解答下列各題（本大題7分）∑在xoy面上的投影域?yàn)镈：x2+y2≤1.面積元素910由高斯公式（*）510（*）=7=1011．